5 Halle todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

2 Halle un par de enteros positivos $a,b$ tales que $ab(a+b)$ no sea divisible por $7$ , pero $(a+b)^7-a^7-b^7$ sea divisible por $7^7$ .

3 Dados los puntos $O$ y $A$ en el plano. Cada punto del plano está coloreado con uno de un número finito de colores. Dado un punto $X$ en el plano, el círculo $C(X)$ tiene centro $O$ y radio $OX+{\angle AOX\over OX}$ , donde $\angle AOX$ se mide en radianes en el intervalo $[0,2\pi)$ . Demuestre que podemos hallar un punto $X$ , que no esté sobre $OA$ , tal que su color aparezca en la circunferencia del círculo $C(X)$ .

1 Considere el cuadrilátero convexo $ABCD$ . El punto $P$ está en el interior de $ABCD$ . Se cumplen las siguientes igualdades de razones: \[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\] Demuestre que las siguientes tres rectas se cortan en un punto: las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ADP$ y $\angle PCB$ y la mediatriz del segmento $AB$ . Propuesto por Dominik Burek, Poland

3 Hay $4n$ piedrecitas de pesos $1, 2, 3, \dots, 4n.$ Cada piedrecita está coloreada con uno de $n$ colores y hay cuatro piedrecitas de cada color. Demuestre que podemos distribuir las piedrecitas en dos pilas de modo que se satisfagan las dos condiciones siguientes: Los pesos totales de ambas pilas son iguales. Cada pila contiene dos piedrecitas de cada color. Propuesto por Milan Haiman, Hungary y Carl Schildkraut, USA Aryan-23

4 Existe un entero $n > 1$ . Hay $n^2$ estaciones en la ladera de una montaña, todas a altitudes distintas. Cada una de las dos empresas de teleféricos, $A$ y $B$ , opera $k$ teleféricos; cada teleférico proporciona un traslado de una de las estaciones a otra más alta (sin paradas intermedias). Los $k$ teleféricos de $A$ tienen $k$ puntos de partida distintos y $k$ puntos de llegada distintos, y un teleférico que parte más alto también llega más alto. Las mismas condiciones se cumplen para $B$ . Decimos que dos estaciones están enlazadas por una empresa si uno puede partir de la estación más baja y alcanzar la más alta usando uno o más teleféricos de esa empresa (no se permiten otros movimientos entre estaciones). Determine el menor entero positivo $k$ para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones que están enlazadas por ambas empresas. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu, India

5 Se da una baraja de $n > 1$ cartas. En cada carta está escrito un entero positivo. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números de cada par de cartas es también la media geométrica de los números de alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué $n$ se deduce que los números de las cartas son todos iguales? Propuesto por Oleg Košik, Estonia

1 Demuestre que $0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27}$ , donde $x,y$ y $z$ son números reales no negativos que satisfacen $x+y+z=1$ .

2 Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demuestre que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\] Propuesto por Stijn Cambie, Belgium

6 Demuestre que existe una constante positiva $c$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Considere un entero $n > 1$ y un conjunto $\mathcal S$ de $n$ puntos en el plano tal que la distancia entre cualesquiera dos puntos distintos de $\mathcal S$ sea al menos 1. Se sigue que existe una recta $\ell$ que separa $\mathcal S$ tal que la distancia desde cualquier punto de $\mathcal S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$ . (Una recta $\ell$ separa un conjunto de puntos S si algún segmento que une dos puntos de $\mathcal S$ cruza $\ell$ . ) Nota. Resultados más débiles con $cn^{-1/3}$ reemplazado por $cn^{-\alpha}$ pueden recibir puntos dependiendo del valor de la constante $\alpha > 1/3$ . Propuesto por Ting-Feng Lin y Hung-Hsun Hans Yu, Taiwan