5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\omega$ , y sea $P$ un punto sobre la prolongación de $AC$ tal que $PB$ y $PD$ son tangentes a $\omega$ . La tangente en $C$ corta a $PD$ en $Q$ y a la recta $AD$ en $R$ . Sea $E$ el segundo punto de intersección entre $AQ$ y $\omega$ . Demuestre que $B$ , $E$ , $R$ son colineales.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E$ . Las prolongaciones de los lados $AD$ y $BC$ más allá de $A$ y $B$ se cortan en $F$ . Sea $G$ el punto tal que $ECGD$ es un paralelogramo, y sea $H$ la imagen de $E$ bajo reflexión en $AD$ . Demuestre que $D,H,F,G$ son concíclicos.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ y $CF$ , y sea $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Demuestre que los segmentos $OA$ , $OF$ , $OB$ , $OD$ , $OC$ , $OE$ dividen al triángulo $ABC$ en tres pares de triángulos de áreas iguales.

2 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ es un entero. Aquí $[r]$ denota el mayor entero menor o igual que $r$ .

3 Determine todos los pares $ (p , n )$ de un número primo $ p$ y un entero positivo $ n$ para los cuales $ \frac{ n^p + 1 }{p^n + 1} $ es un entero.

4 Sea $ ABC $ un triángulo acutángulo. Denote por $ D $ el pie de la perpendicular trazada desde el punto $ A $ al lado $ BC $ , por $M$ el punto medio de $ BC $ , y por $ H $ el ortocentro de $ ABC $ . Sea $ E $ el punto de intersección de la circunferencia circunscrita $ \Gamma $ del triángulo $ ABC $ con la semirrecta $ MH $ , y sea $ F $ el punto de intersección (distinto de $E$ ) de la recta $ ED $ con la circunferencia $ \Gamma $ . Demuestre que debe cumplirse $ \tfrac{BF}{CF} = \tfrac{AB}{AC} $ . (Aquí denotamos por $XY$ la longitud del segmento $XY$ . )

4 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que: $\angle ABC=90,\angle BCD=135,\angle DEA=60$ y $AB=BC=CD=DE$ . Halle el ángulo $\angle DAE$ .

4 Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros y $\deg f>\deg g$ . Suponga que para infinitos primos $p$ el polinomio $pf+g$ tiene una raíz racional. Demuestre que $f$ tiene una raíz racional.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$ y circuncentro $O$ . La bisectriz de $\angle BAC$ corta a $BC$ en $D$ . Sea $E$ la reflexión de $D$ con respecto al punto medio de $BC$ . Las rectas que pasan por $D$ y $E$ perpendiculares a $BC$ cortan a las rectas $AO$ y $AD$ en $X$ y $Y$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $BXCY$ es cíclico.

1 Sea $ P $ un punto en el interior de un triángulo $ ABC $ , y sean $ D, E, F $ los puntos de intersección de la recta $ AP $ con el lado $ BC $ del triángulo, de la recta $ BP $ con el lado $ CA $ , y de la recta $ CP $ con el lado $ AB $ , respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $ ABC $ debe ser $ 6 $ si el área de cada uno de los triángulos $ PFA, PDB $ y $ PEC $ es $ 1 $ .