2 En una clase de la escuela, el número de estudiantes ausentes es $\frac{1}{6}$ del número de estudiantes presentes. Cuando el profesor envió a un estudiante a traer tiza, el número de estudiantes ausentes fue $\frac{1}{5}$ del número de estudiantes presentes. ¿Cuántos estudiantes hay en esa clase?

1 Si $a$ y $b$ son dígitos, ¿cuántos números de $4$ dígitos $\overline{3ab4}$ son divisibles por $9$? ¿Cuáles son esos números?

5 Demuestre que en toda partición del conjunto $X=\{1,2,...,9\}$ en dos conjuntos disjuntos, al menos uno de ellos contiene tres elementos tales que la suma de dos de ellos es igual al tercero

4 Sea $n$ un entero positivo y sean $a=2^n\cdot 7^{n+1}+11$ y $b=2^{n+1}\cdot 7^n+3$. $a)$ Demuestre que la fracción $\frac{a}{b}$ es irreducible. $b)$ Demuestre que el número $a+b-7$ no es un cuadrado perfecto para ningún entero positivo $n$

3 Sea $D$ el punto medio de $BC$ del triángulo $ABC$. Sobre el lado $AB$ se da el punto $E$, y sobre el lado $AC$ se da el punto $F$ tales que $\angle EDF = 90^{\circ}$. Demuestre que $BE+CF>EF$

2 Demuestre que el valor $$A=\frac{(b-c)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(c-a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{(a-b)^2}{(c-a)(c-b)}$$ no depende de los valores de $a$, $b$ y $c$

1 El padre tiene $42$ años y el hijo tiene $14$ años. ¿Dentro de cuántos años el padre tendrá el doble de la edad de su hijo?

5 Se dan $2015$ números tales que si cada uno de ellos se reemplaza por la suma de los restantes, obtenemos los mismos $2015$ números. Demuestre que el producto de todos los números es $0$

4 En el mercado, un vendedor vende sandías, melones y mazorcas tiernas de maíz. El número total de sandías, melones y mazorcas de maíz es $239$. Un comprador compró $\frac{2}{3}$ de todas las sandías, $\frac{3}{5}$ de todos los melones y $\frac{5}{7}$ de todas las mazorcas de maíz. Otro comprador compró $\frac{1}{13}$ de todas las sandías, $\frac{1}{4}$ de todos los melones y $\frac{1}{5}$ de todas las mazorcas de maíz. ¿Cuántas piezas en total compró el segundo comprador y cuántas tenía el vendedor al principio de sandías, melones y mazorcas de maíz, respectivamente?

3 Halle el área del cuadrilátero $ABCD$ si: dos ángulos opuestos son rectos; dos lados que forman el ángulo recto tienen longitudes iguales y la suma de las longitudes de los otros dos lados es $10$