4 Sea $M$ el punto medio del lado $AC$ del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB>BC$ . Sea $\Omega $ la circunferencia circunscrita de $ ABC$ . Las tangentes a $ \Omega $ en los puntos $A$ y $C$ se cortan en $P$ , y $BP$ y $AC$ se intersecan en $S$ . Sea $AD$ la altura del triángulo $ABP$ y $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $CSD$ . Suponga que $ \omega$ y $ \Omega $ se intersecan en $K\not= C$ . Demuestre que $ \angle CKM=90^\circ $ . V. Shmarov

1 Defina $m(n)$ como el mayor divisor natural propio de $n\in \mathbb{N}$ . Halle todos los $n \in \mathbb{N} $ tales que $n+m(n) $ es una potencia de $10$ . N. Agakhanov

2 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ y sea $ \Omega $ una circunferencia que pasa por $A,B,C,D$ . Sea $ \omega $ la circunferencia que pasa por $C,D$ e interseca a $CA,CB$ en $A_1$ , $B_1$ respectivamente. $A_2$ y $B_2$ son los puntos simétricos de $A_1$ y $B_1$ respectivamente, con respecto a los puntos medios de $CA$ y $CB$ . Demuestre que los puntos $A,B,A_2,B_2$ son concíclicos. I. Bogdanov

4 En un país de $n$ ciudades, un tren expreso circula en ambos sentidos entre cualesquiera dos ciudades. Para cualquier tren, los precios del boleto son iguales en ambas direcciones, pero para rutas distintas estos precios son diferentes. Demuestre que el viajero puede elegir la ciudad de partida, salir de ella y continuar, sucesivamente, en $n-1$ trenes, de modo que cada tarifa sea menor que la tarifa anterior. (Un viajero puede entrar en la misma ciudad varias veces.)

1 Digamos que $a$ es bueno si el número de divisores primos de $a$ es igual a $2$ . ¿Existen $18$ números naturales buenos consecutivos?

2 Dada una función $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ con $f(x)^2\le f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{R} $ , $x>y$ , demuestre que $f(x)\in [0,1] $ para todo $x\in \mathbb{R}$ .

1 ¿Existe un $a\in\mathbb{R}$ positivo tal que \[|\cos x|+|\cos ax| >\sin x +\sin ax \] para todo $x\in\mathbb{R}$ ? N. Agakhanov

2 Peter y Bob juegan un juego en un tablero de ajedrez de $n\times n$ . Al principio, todos los cuadrados son blancos excepto un cuadrado negro de una esquina que contiene una torre. Los jugadores se turnan para mover la torre a un cuadrado blanco y volver a colorear el cuadrado de negro. El jugador que no puede mover pierde. Peter juega primero. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

4 Dado un triángulo $ABC$ con $AB>BC$ , sea $ \Omega $ la circunferencia circunscrita. Sean $M$ , $N$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ respectivamente, tales que $AM=CN$ . Sea $K$ la intersección de $MN$ y $AC$ . Sea $P$ el incentro del triángulo $AMK$ y $Q$ el $K$ - excentro del triángulo $CNK$ . Si $R$ es el punto medio del arco $ABC$ de $ \Omega $ , demuestre que $RP=RQ$ . M. Kungodjin

2 La esfera inscrita y la esfera exinscrita de una pirámide triangular $ABCD$ tocan su cara $BCD$ en puntos distintos $X$ y $Y$ . Demuestre que el triángulo $AXY$ es un triángulo obtusángulo.