11 La circunferencia circunscrita del triángulo agudo $\triangle ABC$ tiene centro $O$. La recta que pasa por el punto $O$ perpendicular a $\overline{OB}$ interseca a las rectas $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Además, $AB=5$, $BC=4$, $BQ=4.5$, y $BP=\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

8 Sean $a$ y $b$ enteros positivos que cumplen $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$ . El valor máximo posible de $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ es $\frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $p+q$ .

5 Sea el conjunto $S = \{P_1, P_2, \cdots, P_{12}\}$ formado por los doce vértices de un $12$-ágono regular. Un subconjunto $Q$ de $S$ se llama comunal si existe un círculo tal que todos los puntos de $Q$ están dentro del círculo, y todos los puntos de $S$ que no están en $Q$ están fuera del círculo. ¿Cuántos subconjuntos comunales hay? (Nota que el conjunto vacío es un subconjunto comunal.)

1 Los 8 ojales para el cordón de un tenis están todos sobre un rectángulo, cuatro igualmente espaciados en cada uno de los lados más largos. El rectángulo tiene un ancho de $50$ mm y un largo de $80$ mm. Hay un ojal en cada vértice del rectángulo. El cordón mismo debe pasar entre los ojales de los vértices a lo largo de un lado del ancho del rectángulo y luego cruzarse entre ojales sucesivos hasta llegar a los dos ojales en el otro lado del ancho del rectángulo como se muestra. Después de pasar por estos ojales finales, cada uno de los extremos del cordón debe extenderse al menos $200$ mm más para permitir que se haga un nudo. Encuentra la longitud mínima del cordón en milímetros. [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.7)); path laceL=(-20,-30)..tension 0.75 ..(-90,-135)..(-102,-147)..(-152,-150)..tension 2 ..(-155,-140)..(-135,-40)..(-50,-4)..tension 0.8 ..origin; path laceR=reflect((75,0),(75,-240))*laceL; draw(origin--(0,-240)--(150,-240)--(150,0)--cycle,gray); for(int i=0;i<=3;i=i+1) { path circ1=circle((0,-80*i),5),circ2=circle((150,-80*i),5); unfill(circ1); draw(circ1); unfill(circ2); draw(circ2); } draw(laceL--(150,-80)--(0,-160)--(150,-240)--(0,-240)--(150,-160)--(0,-80)--(150,0)^^laceR,linewidth(1));[/asy]

3 Un rectángulo tiene lados de longitud $a$ y $36$. Se instala una bisagra en cada vértice del rectángulo y en el punto medio de cada lado de longitud $36$. Los lados de longitud $a$ pueden presionarse uno hacia el otro manteniendo esos dos lados paralelos, de modo que el rectángulo se convierte en un hexágono convexo como se muestra. Cuando la figura es un hexágono con los lados de longitud $a$ paralelos y separados por una distancia de $24$, el hexágono tiene la misma área que el rectángulo original. Encuentra $a^2$. [asy] pair A,B,C,D,E,F,R,S,T,X,Y,Z; dotfactor = 2; unitsize(.1cm); A = (0,0); B = (0,18); C = (0,36); // no mires aquí D = (12*2.236, 36); E = (12*2.236, 18); F = (12*2.236, 0); draw(A--B--C--D--E--F--cycle); dot(" ",A,NW); dot(" ",B,NW); dot(" ",C,NW); dot(" ",D,NW); dot(" ",E,NW); dot(" ",F,NW); //no mires aquí R = (12*2.236 +22,0); S = (12*2.236 + 22 - 13.4164,12); T = (12*2.236 + 22,24); X = (12*4.472+ 22,24); Y = (12*4.472+ 22 + 13.4164,12); Z = (12*4.472+ 22,0); draw(R--S--T--X--Y--Z--cycle); dot(" ",R,NW); dot(" ",S,NW); dot(" ",T,NW); dot(" ",X,NW); dot(" ",Y,NW); dot(" ",Z,NW); // sqrt180 = 13.4164 // sqrt5 = 2.236 [/asy]

2 Arnold está estudiando la prevalencia de tres factores de riesgo para la salud, denotados por A, B y C, dentro de una población de hombres. Para cada uno de los tres factores, la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar en la población tenga solo este factor de riesgo (y ninguno de los otros) es 0.1. Para cualesquiera dos de los tres factores, la probabilidad de que un hombre seleccionado al azar tenga exactamente dos de estos dos factores de riesgo (pero no el tercero) es 0.14. La probabilidad de que un hombre seleccionado al azar tenga los tres factores de riesgo, dado que tiene A y B es $\tfrac{1}{3}$ . La probabilidad de que un hombre no tenga ninguno de los tres factores de riesgo dado que no tiene el factor de riesgo A es $\tfrac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $p+q$ .

1 Se construyen $13$ fracciones utilizando cada uno de los números $1,2,...,26$ una vez. Ejemplo: $\frac{12}{5},\frac{18}{26}.... $ ¿Cuál es el número máximo de fracciones que son enteros?

2 $a,b,c$ son enteros positivos. Resuelva la ecuación: $ 2^{a!}+2^{b!}=c^3 $

3 $a,b,c$ son números positivos . $a+b+c=3$ Demuestre que: $\sum \frac{a^2+6}{2a^2+2b^2+2c^2+2a-1}\leq 3 $

4 Hay un triángulo no equilátero $ABC$ . Sea $ABC$ con incentro $I$ . El punto $D$ está sobre el lado $BC$ .Las circunferencias trazadas exteriormente a los triángulos $IBD$ e $ICD$ intersecan los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F.$ La circunferencia trazada exteriormente al triángulo $DEF$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en $N$ y $M$ . Demuestre que $EM\parallel FN $ .