G3 Sea $\triangle A_1A_2A_3$ un triángulo equilátero con conjugados isogonales $P_1$ y $P_2$ en su interior. Demuestre que existe un pentágono cíclico $B_1B_2B_3Q_1Q_2$ tal que $A_iP_j=B_iQ_j$ para cada $i \in \{1,2,3\}$ y $j \in \{1,2\}$ . Karn Chutinan

C7 Sea $\mathcal P$ un polígono simple y sean $j$ y $k$ enteros positivos con $j > k$ . Suponga que es posible particionar $\mathcal P$ en $j$ rectángulos y sombrear $k$ de ellos de gris de modo que no haya dos rectángulos sombreados que compartan una cantidad positiva de perímetro. (Es permisible que cualesquiera dos de ellos compartan un vértice.) En términos de $j$ y $k$ , ¿cuál es el menor número de lados que $\mathcal P$ podría tener? Benny Wang

C5 ¡El gato Tacocat, que puede escribir letras minúsculas del inglés así como huellas $\star$ , desea identificar palíndromos! Sea $S=\{a,b,\dots,z\}$ el conjunto de las letras del inglés, y defina $T=S\cup \{\star\}$ . Tacocat tiene una lista de palabras $(w_1, u_1)$ , $\dots$ , $(w_n, u_n)$ , formadas por caracteres de $T$ . Un humano le da a Tacocat una cadena $s$ de letras de $S$ , a la cual Tacocat antepone dos huellas a la izquierda de la cadena, creando $s'$ . Luego, Tacocat repite lo siguiente hasta que ninguna de $w_1$ , $\dots$ , $w_n$ sea una subcadena de $s'$ : Para el menor $i$ tal que $w_i$ es una subcadena de $s'$ , la primera aparición de $w_i$ es reemplazada por $u_i$ . ¿Puede Tacocat elegir palabras $w_i$ y $u_i$ , y una palabra $W$ , formada por letras de $T$ , de modo que el proceso termine para toda $s$ , y la palabra final sea $W$ si y solo si la cadena original $s$ era un palíndromo? Karn Chutinan

G2 En el cuadrilátero $ABCD$ con $\angle BAD=\angle BCD$ , la diagonal $AC$ interseca la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ en un punto $P \neq C$ . Sean $Q$ , $R$ , $S$ y $T$ las reflexiones de $P$ respecto a $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle AQT$ es tangente a la recta $RS$ . Benny Wang

C6 Sea $n$ un entero positivo. Alexandre llena cada celda de una cuadrícula de $n \times n$ con un entero entre $1$ y $n$ inclusive, de modo que no haya dos celdas que contengan el mismo número y compartan una fila o columna. Coloca una ficha en la celda superior izquierda. Puede mover la ficha entre dos celdas ortogonalmente adyacentes si y solo si los números en las celdas difieren en $1$ . Halle todos los $n$ para los cuales es posible que Alexandre llene la cuadrícula de manera que la ficha pueda moverse a cualquier celda de la cuadrícula. Benny Wang

G1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $DA=AB=BC$ . Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}$ , y sea $P$ un punto en el plano con $\angle PCA=\angle PDB=90^\circ$ . Un círculo con centro en $O$ es tangente a los segmentos $DA$ , $AB$ y $BC$ . Demuestre que $M$ , $O$ y $P$ son colineales. Tiger Zhang y Calvin Wang

C9 Sea $n \ge 2$ un entero. Una cuadrícula de $n \times n$ se llena con los números del $1$ al $n$ de modo que cada fila contenga cada número exactamente una vez y cualesquiera dos filas adyacentes difieran en exactamente dos elementos. Halle todos los $n$ tales que para cualquier etiquetado válido de la cuadrícula, exista un conjunto de $n$ celdas, cada una con un número diferente, tal que no haya dos en la misma fila o columna. Andrew Carratu

C4 Cada celda de una cuadrícula infinita está coloreada de gris, rosa o verde. Llame indeciso a un sub-rectángulo de celdas de la cuadrícula si, dentro del rectángulo, ningún color aparece con más frecuencia que los otros dos colores. ¿Podría existir un entero $n$ y una coloración de la cuadrícula tales que todo subrectángulo con ambas longitudes de lado al menos $n$ sea indeciso? Benny Wang

G7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno. Se eligen puntos $D$ , $E$ y $F$ en $\overline{BC}$ , $\overline{AC}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente, tales que $\angle BDF=\angle CDE$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDE$ y $CDF$ cortan a la recta $EF$ de nuevo en $X$ y $Y$ , respectivamente, y se cortan entre sí de nuevo en $P$ . Las rectas $BX$ y $CY$ se cortan en $Q$ . Demuestre que $P$ , $A$ y $Q$ son colineales. Grant Blitz

G8 Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ círculos que se intersecan en $A$ y $B$ . Sea $\ell$ la tangente común de ambos círculos más cercana a $A$ . La recta que pasa por $A$ tangente a $\omega_1$ interseca a $\omega_2$ en $A$ y $C$ . Demuestre que existe un círculo tangente a $\omega_1,\omega_2,$ y a las rectas que pasan por $A$ y $C$ paralelas a $\ell$ . Michael Zhao