C5 Sea $\mathcal{S}$ un conjunto de $10$ puntos en un plano que se encuentran dentro de un disco de radio $1$ mil millones. Defina un $move$ como elegir un punto $P \in \mathcal{S}$ y reflejarlo respecto al baricentro de $\mathcal{S}$ . ¿Existe siempre una sucesión de a lo sumo $1500$ movimientos tras la cual todos los puntos de $\mathcal{S}$ estén contenidos en un disco de radio $10$ ? Advaith Avadhanam

C6 Para enteros positivos $a$ y $b$ , una barajada $(a,b)$ de una baraja de $a+b$ cartas es cualquier barajada que preserva el orden relativo de las $a$ cartas superiores y el orden relativo de las $b$ cartas inferiores. Sean $n$ , $k$ , $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_k$ , $b_1$ , $b_2$ , $\dots$ , $b_k$ enteros positivos fijos tales que $a_i+b_i=n$ para todo $1\leq i\leq k$ . Big Bird tiene una baraja de $n$ cartas y realizará una barajada $(a_i,b_i)$ para cada $1\leq i\leq k$ , en orden ascendente de $i$ . Suponga que Big Bird puede invertir el orden de la baraja. Demuestre que Big Bird también puede lograr cualquiera de las $n!$ permutaciones de las cartas. Linus Tang

C7 Sea $n\ge 2$ un entero positivo, y considere una cuadrícula de $n\times n$ formada por $n^2$ triángulos equiláteros. Dos triángulos son adyacentes si comparten al menos un vértice. Cada triángulo está coloreado de rojo o azul, dividiendo la cuadrícula en regiones. Halle, con demostración, el número mínimo de triángulos en la región más grande. Rohan Bodke

C8 Sea $n\ge5$ un entero. Un trapecio con bases de longitudes $1$ y $r$ está embaldosado por $n$ triángulos equiláteros (no necesariamente congruentes). En términos de $n$ , halle el máximo valor posible de $r$ . Linus Tang

G1 En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , sean las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ que se intersecan en $E$ . Las circunferencias circunscritas de $ADE$ y $BCE$ cortan a $\overline{AB}$ de nuevo en $P \neq A$ y $Q \neq B$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ACP$ corta a $\overline{AD}$ de nuevo en $R \neq A$ , y la circunferencia circunscrita de $BDQ$ corta a $\overline{BC}$ de nuevo en $S \neq B$ . Demuestre que $A$ , $B$ , $R$ y $S$ son concíclicos. Tiger Zhang

G2 Sea $ABC$ un triángulo. Suponga que $D$ , $E$ y $F$ son puntos en los segmentos $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente, tales que los triángulos $AEF$ , $BFD$ y $CDE$ tienen inradios iguales. Demuestre que la suma de los inradios de $\triangle AEF$ y $\triangle DEF$ es igual al inradio de $\triangle ABC$ . Aprameya Tripathy

G3 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $\omega_1,\omega_2$ con centros en $O_1$ , $O_2$ y tangentes a la recta $BC$ en $B$ , $C$ respectivamente. Sea la recta $AB$ que corta a $\omega_1$ de nuevo en $X$ y sea la recta $AC$ que corta a $\omega_2$ de nuevo en $Y$ . Si $Q$ es la otra intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $AXY$ , entonces demuestre que las rectas $AQ$ , $BC$ y $O_1O_2$ o bien concurren o bien son todas paralelas. Advaith Avadhanam

G4 En el cuadrilátero $ABCD$ con incentro $I$ , los puntos $W,X,Y,Z$ se encuentran en los lados $AB, BC,CD,DA$ con $AZ=AW$ , $BW=BX$ , $CX=CY$ , $DY=DZ$ . Defina $T=\overline{AC}\cap\overline{BD}$ y $L=\overline{WY}\cap\overline{XZ}$ . Sean los puntos $O_a,O_b,O_c,O_d$ tales que $\angle O_aZA=\angle O_aWA=90^\circ$ (y las variantes cíclicas), y $G=\overline{O_aO_c}\cap\overline{O_bO_d}$ . Demuestre que $\overline{IL}\parallel\overline{TG}$ . Neal Yan

G5 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hasta $\overline{BC}$ . Sean $P$ y $Q$ puntos en las circunferencias circunscritas de los triángulos $AOB$ y $AOC$ , respectivamente, tales que $A$ , $P$ y $Q$ son colineales. Demuestre que si la circunferencia circunscrita del triángulo $OPQ$ es tangente a $\omega$ en $T$ , entonces $\angle BTD=\angle CAP$ . Tiger Zhang

G6 En el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ y $AB+AC=2BC$ , sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$ . Elija el punto $P$ en la prolongación de $\overline{BA}$ más allá de $A$ y el punto $Q$ en el segmento $\overline{AC}$ tales que $M$ se encuentre en $\overline{PQ}$ . Sea $X$ en el lado de $\overline{AB}$ opuesto a $C$ tal que $\overline{AX} \parallel \overline{BC}$ y $AX=AP=AQ$ . Sea $\overline{BX}$ que corta a la circunferencia circunscrita de $BMQ$ de nuevo en $Y \neq B$ , y sea $\overline{CX}$ que corta a la circunferencia circunscrita de $CMP$ de nuevo en $Z \neq C$ . Demuestre que $A$ , $Y$ y $Z$ son colineales. Tiger Zhang