¿Pueden particionarse los enteros positivos en $12$ subconjuntos de modo que para cada entero positivo $k$, los números $k, 2k, \ldots, 12k$ pertenezcan a subconjuntos distintos?

2 Dados los números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$. Sea \[ m = \min \left( a_1 + \frac{1}{a_2}, a_2 + \frac{1}{a_3}, \dots, a_{n - 1} + \frac{1}{a_n} , a_n + \frac{1}{a_1} \right). \] Demuestra la desigualdad \[ \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} + \frac{1}{\sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}} \ge m. \]

1 Para cada entero positivo $m$, sea $t_m$ el menor entero positivo que no divide a $m$. Demuestra que hay infinitos enteros positivos que no pueden representarse en la forma $m + t_m$. (A. Golovanov)

2 Todos los coeficientes no nulos del polinomio $f(x)$ son iguales a $1$, mientras que la suma de los coeficientes es $20$. ¿Es posible que trece coeficientes de $f^2(x)$ sean iguales a $9$? (S. Ivanov, K. Kokhas)

3 Cada arista de un grafo completo con $101$ vértices está marcada con $1$ o $-1$. Se sabe que el valor absoluto de la suma de los números en todas las aristas es menor que $150$. Demuestra que el grafo contiene un camino que visita cada vértice exactamente una vez tal que la suma de los números en todas las aristas de este camino es cero. (Y. Caro, A. Hansberg, J. Lauri, C. Zarb)

4 Puntos $D$ y $E$ yacen sobre las líneas $BC$ y $AC$ respectivamente, de modo que $B$ está entre $C$ y $D$, $C$ está entre $A$ y $E$, $BC = BD$ y $\angle BAD = \angle CDE$. Se sabe que la razón de los perímetros de los triángulos $ABC$ y $ADE$ es $2$. Encuentra la razón de las áreas de estos triángulos.

5 Ejes coordenados (sin marcas, con la misma escala) y la gráfica de un trinomio cuadrático $y = x^2 + ax + b$ están dibujados en el plano. Los números $a$ y $b$ no se conocen. ¿Cómo dibujar un segmento unitario usando solo regla y compás?

6 $AK$ y $BL$ son alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Se elige un punto $P$ sobre el segmento $AK$ tal que $LK=LP$. La paralela a $BC$ por $P$ corta a la paralela a $PL$ por $B$ en el punto $Q$. Demuestra que $\angle AQB = \angle ACB$. (S. Berlov)

7 ¿Cuántos enteros positivos $N$ en el segmento $\left[10, 10^{20} \right]$ son tales que si todos sus dígitos se incrementan en $1$ y luego se multiplican, el resultado es $N+1$? (F. Bakharev)

8 En una tira horizontal $1 \times n$ formada por $n$ cuadrados unitarios, se marcan los vértices de todos los cuadrados. La tira se divide en partes mediante segmentos que conectan puntos marcados y que no se encuentran sobre los lados de la tira. Los segmentos no pueden tener puntos interiores en común; el extremo superior de cada segmento debe estar ya sea por encima del extremo inferior o más a la derecha. Demuestra que el número de todas las particiones es divisible por $2^n$. (La partición donde no se dibujan segmentos también se cuenta.) (E. Robeva, M. Sun)