4 Determine todas las funciones $f: \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ tales que $n!\hspace{1mm} +\hspace{1mm} f(m)!\hspace{1mm} |\hspace{1mm} f(n)!\hspace{1mm} +\hspace{1mm} f(m!)$ , para todos $m$ , $n$ $\in$ $\mathbb{N}$ .

5 Sea $n$ un entero positivo dado. Sísifo realiza una secuencia de turnos en un tablero que consta de $n + 1$ casillas en una fila, numeradas de $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, $n$ piedras se colocan en la casilla $0$ , y las demás casillas están vacías. En cada turno, Sísifo elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de esas piedras y la mueve hacia la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sísifo es mover las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestre que Sísifo no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es usual, $\lceil x \rceil$ denota el menor entero no menor que $x$ . )

1 En cada casilla de un tablero de ajedrez con $a$ filas y $b$ columnas se escribe un $0$ o un $1$ satisfaciendo las siguientes condiciones. Si una fila y una columna se intersecan en una casilla con un $0$, entonces esa fila y esa columna tienen el mismo número de $0$s. Si una fila y una columna se intersecan en una casilla con un $1$, entonces esa fila y esa columna tienen el mismo número de $1$s. Encuentra todos los pares $(a,b)$ para los cuales esto es posible.

2005.3 El rectángulo está dividido en $9$ por cuatro segmentos en rectángulos más pequeños como se muestra en el dibujo. Los perímetros de cuatro de ellos están inscritos en el rectángulo correspondiente. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo central, si es un entero y no coincide con ninguno de los perímetros de los rectángulos mostrados en el dibujo?

4 Sean $a,b$ enteros positivos coprimos. Muestre que el número de enteros positivos $n$ para los cuales la ecuación $ax+by=n$ no tiene soluciones en enteros positivos es igual a $\frac{(a-1)(b-1)}{2}-1$ .

2 Si $a_1,a_2,a_3\ldots a_n$ son números positivos, halle el valor máximo de \[\frac{a_1a_2\ldots a_{n-1}a_n}{(1+a_1)(a_1+a_2)\ldots (a_{n-1}+a_n)(a_n+2^{n+1})} \]

3 En un triángulo con lados $a,b,c,t_a,t_b,t_c$ , sean estas las medianas correspondientes y $D$ el diámetro de la circunferencia circunscrita. Demuestre que \[\frac{a^2+b^2}{t_c}+\frac{b^2+c^2}{t_a}+\frac{c^2+a^2}{t_b}\le 6D\]

1 Sea $AB$ un diámetro de un círculo con centro $O$ , y sea $CD$ una cuerda perpendicular a $AB$ . Una cuerda $AE$ interseca a $CO$ en $M$ , mientras que $DE$ y $BC$ se intersecan en $N$ . Demuestre que $CM:CO=CN:CB$ .

2007.3 En los lados $BC$ y $CD$ del cuadrado $ABCD$, Mickey marcó los puntos $K$ y $L$ tales que $\angle AKB = \angle AKL$. Ayúdale a encontrar la medida del ángulo $\angle KAL$.

4 Sea $\Omega$ una familia de subconjuntos de $M$ tal que: $(\text{i})$ Si $|A\cap B|\ge 2$ para $A,B\in\Omega$ , entonces $A=B$ ; $(\text{ii})$ Existen subconjuntos distintos $A,B,C\in\Omega$ con $|A\cap B\cap C|=1$ ; $(\text{iii})$ Para todo $A\in\Omega$ y $a\in M \ A$ , existe un único $B\in\Omega$ tal que $a\in B$ y $A\cap B=\emptyset$ . Demuestre que existen números $p$ y $s$ tales que: $(1)$ Cada $a\in M$ está contenido en exactamente $p$ conjuntos de $\Omega$ ; $(2)$ $|A|=s$ para todo $A\in\Omega$ ; $(3)$ $s+1\ge p$ .