1 Determina todos los números enteros $x, y$ y $n$ tales que: $$3 (x^n - y^n) = 1977$$

4 Sea $p$ un número primo fijo. Encuentra todos los enteros $n \ge 1$ con la siguiente propiedad: Se pueden emparejar los divisores positivos de $n$ en pares $(d,d')$ que cumplan $d<d'$ y $p \mid \left\lfloor \frac{d'}{d}\right\rfloor$.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\omega$ su circunferencia circunscrita y $O$ su circuncentro. La altura desde $A$ interseca a $\omega$ en un punto $D \ne A$ y el segmento $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita de $OCD$ en un punto $E \ne C$. Finalmente, sea $M$ el punto medio de $BE$. Muestra que $DE$ es paralelo a $OM$.

Se tiene una matriz cuadrada con números enteros y $n = 1977$ filas. Los elementos de la matriz se denotan por $a_{ij}$. En cada fila hay exactamente un elemento igual a $1$ y uno igual a $-1$, y todos los términos son distintos. Sea $p_{ij}$ el producto de todos los elementos de la $i$-ésima fila y los elementos de la $j$-ésima columna, donde el elemento $a_{ij}$ se toma solo una vez. Demuestra que la suma de todos los $p_{ij}$ no es igual a $1$.

2 Sea $n$ un número natural. Determina todos los números reales $x_1, x_2,..., x_n$ tales que: $$x_1^{2n} + (x_1x_2)^{2n} + ... + (x_1x_2 ... x_n)^{2n} = 1$$ $$x_1^{2n+1} + (x_1x_2)^{2n+1} + ... + (x_1x_2 ... x_n)^{2n+1} = 1$$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones sobre $R \times R \times R$ donde $a = \frac{5z}{1+z}$ $$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + a^2y + z = 1 \\ x + ay + az = 1 \end{cases}$$

1 Alice y Bob juegan un juego. Inicialmente, escriben el par $(1012,1012)$ en el pizarrón. Alternan turnos, empezando Alice. En cada turno, el jugador puede convertir el par $(a,b)$ en $(a-2, b+1)$, $(a+1, b-2)$ o $(a-1, b)$, siempre que el par resultante tenga solo valores no negativos. El juego termina cuando no hay movimiento legal posible. Alice gana si el juego termina en $(0,0)$ y Bob gana si el juego termina en $(0,1)$. Determina quién tiene la estrategia ganadora. Propuesto por Shashank Ingalagavi y Krutarth Shah.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $AC$ tal que $AB=AD$. Sea $E$ la intersección de la recta $AB$ con la recta perpendicular a $AO$ que pasa por $D$. Sea $F$ la intersección de la recta perpendicular a $OC$ que pasa por $C$ con la recta paralela a $AC$ que pasa por $E$. Finalmente, sean las rectas $CE$ y $DF$ las que se intersecan en $G$. Muestra que $AG$ y $BF$ son paralelas.

4 Encuentra todos los enteros \(n \ge 2\) para los cuales existen \(n\) enteros \(a_1,a_2,\dots,a_n \ge 2\) tales que para todos los índices \(i \ne j\), se tiene \(a_i \mid a_j^2+1\).

1 Sean $d$ y $m$ dos enteros positivos fijos. Pinocho y Geppetto conocen los valores de $d$ y $m$ y juegan el siguiente juego: Al inicio, Pinocho elige un polinomio $P$ de grado a lo más $d$ con coeficientes enteros. Luego Geppetto le hace preguntas de la forma "¿Cuál es el valor de $P(n)$?" para $n \in \mathbb{Z}$. Pinocho normalmente dice la verdad, pero puede mentir hasta $m$ veces. ¿Cuál es, en función de $d$ y $m$, el número mínimo de preguntas que Geppetto necesita hacer para estar seguro de determinar $P$, sin importar cómo Pinocho elija responder?