4 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sea $P$ un punto en su interior. Sean las rectas $AP$ , $BP$ , $CP$ que intersecan los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , respectivamente. Demuestre que $A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot C_1A_1 \ge A_1B \cdot B_1C \cdot C_1A$ .

6 Sean los lados de dos rectángulos $ \{a,b\}$ y $ \{c,d\},$ respectivamente, con $ a < c \leq d < b$ y $ ab < cd.$ Demuestre que el primer rectángulo se puede colocar dentro del segundo si y solo si \[ \left(b^2 - a^2\right)^2 \leq \left(bc - ad \right)^2 + \left(bd - ac \right)^2.\]

1 Cuatro enteros están marcados sobre una circunferencia. En cada paso reemplazamos simultáneamente cada número por la diferencia entre este número y el siguiente número de la circunferencia, moviéndonos en el sentido horario; es decir, los números $ a,b,c,d$ son reemplazados por $ a-b,b-c,c-d,d-a.$ ¿Es posible que después de 1996 pasos haya números $ a,b,c,d$ tales que los números $ |bc-ad|, |ac - bd|, |ab - cd|$ sean primos?

3 Una sucesión finita de enteros $ a_0, a_1, \ldots, a_n$ se llama cuadrática si para cada $ i$ del conjunto $ \{1,2 \ldots, n\}$ tenemos la igualdad $ |a_i - a_{i-1}| = i^2.$ a.) Demuestre que para cualesquiera dos enteros $ b$ y $ c,$ existe un número natural $ n$ y una sucesión cuadrática con $ a_0 = b$ y $ a_n = c.$ b.) Halle el menor número natural $ n$ para el cual existe una sucesión cuadrática con $ a_0 = 0$ y $ a_n = 1996.$

9 Sea la sucesión $ a(n), n = 1,2,3, \ldots$ generada como sigue con $ a(1) = 0,$ y para $ n > 1:$ \[ a(n) = a\left( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right) + (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}.\] 1.) Determine el valor máximo y el valor mínimo de $ a(n)$ para $ n \leq 1996$ y halle todos los $ n \leq 1996$ para los cuales se alcanzan estos valores extremos. 2.) ¿Cuántos términos $ a(n), n \leq 1996,$ son iguales a 0?

2 Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

3 Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $BC>CA$ . Sea $F$ el pie de la altura $CH$ del triángulo $ABC$ . La perpendicular a la recta $OF$ en el punto $F$ interseca la recta $AC$ en $P$ . Demuestre que $\measuredangle FHP=\measuredangle BAC$ .

9 Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Muestre que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

5 Sea $ n$ un entero positivo par. Sean $ A_1, A_2, \ldots, A_{n + 1}$ conjuntos que tienen $ n$ elementos cada uno, tales que cualesquiera dos de ellos tienen exactamente un elemento en común, mientras que todo elemento de su unión pertenece al menos a dos de los conjuntos dados. ¿Para cuáles $ n$ se puede asignar a cada elemento de la unión uno de los números 0 y 1 de manera que cada uno de los conjuntos tenga exactamente $ \frac {n}{2}$ ceros?

2 Sea $\alpha$ una raíz de la ecuación $x^3-5x+3=0$ y sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales. Demuestre que si $f(\alpha)$ es una raíz de la ecuación anterior, entonces $f(f(\alpha))$ también es una raíz. Amir