1 Hay una cinta con $n^2$ casillas etiquetadas por $1,2,\ldots,n^2$. Suponga que $x,y$ son dos enteros positivos distintos menores o iguales que $n$. Queremos colorear las casillas de la cinta de modo que cualesquiera dos casillas cuya diferencia de etiquetas sea $x$ o $y$ tengan colores distintos. Halle el número mínimo de colores necesarios para lograrlo.

2 Un ángulo se considera como un punto y dos rayos que salen de él. Halle el mayor valor de $n$ tal que sea posible colocar $n$ ángulos de $60$ grados en el plano de manera que cualquier par de estos ángulos tenga exactamente $4$ puntos de intersección.

2 Dos personas juegan el siguiente juego sobre una mesa de $n\times m$, con líneas dibujadas: la persona $\#1$ comienza el juego. Cada persona, en su turno, dobla la mesa sobre una de sus líneas. Quien no pueda doblar la mesa en su turno pierde el juego. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

3 Alí tiene $6$ tipos de cuadrados de $2\times2$ con casillas coloreadas de blanco o negro, y se los ha presentado a Mohammad como fichas prohibidas. $a)$ Demuestre que Mohammad puede colorear las casillas de la tabla infinita (en cada uno de los $4$ lados) de blanco o negro de modo que no haya fichas prohibidas en la tabla. $b)$ Demuestre que Alí puede presentar $7$ fichas prohibidas de modo que Mohammad no pueda lograr su objetivo.

1 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo $\left(\angle A=90^{\circ}\right)$ y sea $M$ el punto medio de $BC$. $\omega_1$ es una circunferencia que pasa por $B,M$ y es tangente a $AC$ en $X$. $\omega_2$ es una circunferencia que pasa por $C,M$ y es tangente a $AB$ en $Y$ ( $X,Y$ y $A$ están del mismo lado de $BC$ ). Demuestre que $XY$ pasa por el punto medio del arco $BC$ (que no contiene a $A$) de la circunferencia circunscrita de $ABC$.

2 Suponga que $P$ es un punto arbitrario dentro del triángulo $ABC$. $BP$ y $CP$ cortan a $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente. $EF$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B'$ y $C'$ (el punto $E$ está entre $F$ y $B'$). Suponga que $B'P$ y $C'P$ cortan a $BC$ en $C''$ y $B''$, respectivamente. Demuestre que $B'B''$ y $C'C''$ se cortan entre sí sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$.

3 En el triángulo $ABC$, los puntos $P$ y $Q$ están sobre la bisectriz externa de $\angle A$ tales que $B$ y $P$ están del mismo lado de $AC$. Las perpendiculares desde $P$ a $AB$ y desde $Q$ a $AC$ se cortan en $X$. Los puntos $P'$ y $Q'$ están sobre $PB$ y $QC$ tales que $PX=P'X$ y $QX=Q'X$. El punto $T$ es el punto medio del arco $BC$ (que no contiene a $A$) de la circunferencia circunscrita de $ABC$. Demuestre que $P',Q'$ y $T$ son colineales si y solo si $\angle PBA+\angle QCA=90^{\circ}$.

1 Sean $x$ y $y$ enteros y sea $p$ un número primo. Suponga que existen enteros positivos primos relativos $m$ y $n$ tales que $$x^m \equiv y^n \pmod p$$ Demuestre que existe un único entero $z$ módulo $p$ tal que $$x \equiv z^n \pmod p \quad \text{and} \quad y \equiv z^m \pmod p$$

2 Para un número primo $q$, se dice que el polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros es factorizable si existen polinomios no constantes $f_q,g_q$ con coeficientes enteros tales que todos los coeficientes del polinomio $Q(x)=P(x)-f_q(x)g_q(x)$ son divisibles por $q$; y escribimos: $$P(x)\equiv f_q(x)g_q(x)\pmod{q}$$ Por ejemplo, los polinomios $2x^3+2,x^2+1,x^3+1$ se pueden factorizar módulo $2,3,p$ de la siguiente manera: $$\left\{\begin{array}{lll} X^2+1\equiv (x+1)(-x+1)\pmod{2}\\ 2x^3+2\equiv (2x-1)^3\pmod{3}\\ X^3+1\equiv (x+1)(x^2-x+1) \end{array}\right.$$ Además, el polinomio $x^2-2$ no es factorizable módulo $p=8k\pm 3$. a) Halle todos los números primos $p$ tales que el polinomio $P(x)$ es factorizable módulo $p$: $$P(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x-5$$ b) ¿Existe un polinomio irreducible $P(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$ con coeficientes enteros tal que para cada número primo $p$ sea factorizable módulo $p$?

3 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $$7^n \mid 3^m+5^m-1$$.