3 $k$ es un entero positivo. La empresa $A$ tiene un método especial para vender relojes. Cada cliente puede recomendar a dos clientes después de haber comprado él mismo un reloj $;$ no está permitido recomendar a una persona ya recomendada. Estos nuevos clientes pueden recomendar a otras dos personas y así sucesivamente. Si ambos clientes recomendados por una persona pudieron desempeñar un papel (directa o indirectamente) en la compra de relojes por parte de al menos $k$ clientes, esta persona recibe un regalo. Demuestre que, si $n$ personas han comprado relojes, entonces a lo sumo $\frac{n}{k+2}$ regalos han sido aceptados.

4 Halle todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que \[f(f(n))=n+2015\] donde $n\in \mathbb{N}.$

1 Halle todos los números naturales $n$ tales que para cada uno de ellos existen primos $p , q$ que satisfacen lo siguiente. $1.$ $p+2=q$ $2.$ $2^n+p$ y $2^n+q$ son primos.

2 En el triángulo $ABC$ la bisectriz de $\angle BAC$ interseca el lado $BC$ en el punto $D$ . La circunferencia $\omega $ pasa por $A$ y es tangente al lado $BC$ en $D$ . $AC$ y $\omega $ se intersecan por segunda vez en $M$ , $BM$ y $\omega $ se intersecan por segunda vez en $P$ . Demuestre que el punto $P$ se encuentra sobre la mediana del triángulo $ABD$ .

3 Hay algunas fichas en un tablero de ajedrez de tamaño $n\cdot n$ . Se sabe que para todos los números $1\le i,j\le n$ , si la casilla en la intersección de la $i$ -ésima fila y la $j$ -ésima columna está vacía, entonces el número de fichas que están en esa fila y en esa columna es al menos $n$ . Demuestre que hay al menos $\frac{n^2}{2}$ fichas en el tablero.

4 Para todos los números $n\ge 1$ , ¿existe una sucesión infinita de números positivos $x_1,x_2,...,x_n$ tal que $x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_n}$ ?

1 Sean $a,b,c$ números reales no negativos. Demuestre que $3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge (a+b+c)^2$ .

2 Hay $100$ estudiantes que participan en un examen. También hay $25$ miembros del jurado. Cada estudiante es evaluado por un jurado. Se sabe que a cada estudiante le agradan $10$ jurados. $a)$ Demuestre que podemos seleccionar $7$ jurados tales que a cualquier estudiante le agrade al menos un jurado. $b)$ Demuestre que podemos lograr que cada estudiante sea evaluado por un jurado que le agrade y que cada jurado evalúe a lo sumo $10$ estudiantes.

3 $a,b$ son enteros positivos y $(a!+b!)|a!b!$ . Demuestre que $3a\ge 2b+2$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Una circunferencia $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ corta los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .