5 Forme el grafo infinito $A$ tomando el conjunto de primos $p$ congruentes con $1\pmod{4}$ , y conectando $p$ y $q$ si son residuos cuadráticos uno respecto del otro. Haga lo mismo para un grafo $B$ con los primos $1\pmod{8}$ . Demuestre que $A$ y $B$ son isomorfos entre sí. Linus Hamilton.

6 Considere un grafo dirigido $G$ con $n$ vértices, donde se permiten $1$ - ciclos y $2$ - ciclos. Para cualquier conjunto $S$ de vértices, sea $N^{+}(S)$ la vecindad saliente de $S$ (es decir, el conjunto de sucesores de $S$ ) , y defina $(N^{+})^k(S)=N^{+}((N^{+})^{k-1}(S))$ para $k\ge2$ . Para $n$ fijo, sea $f(n)$ el número máximo posible de conjuntos distintos de vértices en $\{(N^{+})^k(X)\}_{k=1}^{\infty}$ , donde $X$ es algún subconjunto de $V(G)$ . Demuestre que existe $n>2012$ tal que $f(n)<1.0001^n$ . Linus Hamilton.

7 Considere un grafo $G$ con $n$ vértices y al menos $n^2/10$ aristas. Suponga que cada arista está coloreada con uno de $c$ colores tal que no hay dos aristas incidentes con el mismo color. Suponga además que ningún ciclo de tamaño $10$ tiene el mismo conjunto de colores. Demuestre que existe una constante $k$ tal que $c$ es al menos $kn^\frac{8}{5}$ para cualquier $n$ . David Yang.

Un tablero de dimensiones $2018 \times 2018$ está dividido en celdas unitarias de $1 \times 1$. En algunas celdas del tablero se colocan fichas negras y en otras fichas blancas (en cada celda hay como máximo una ficha). Primero eliminamos todas las fichas negras de las columnas que contienen fichas blancas, y luego eliminamos todas las fichas blancas de las filas que contienen fichas negras. Si $W$ es el número de fichas blancas restantes, y $B$ el número de fichas negras restantes en el tablero, y $A = \min\{W, B\}$, determina el máximo de $A$.

8 Considere el enrejado triangular equilátero en el plano complejo definido por los enteros de Eisenstein; sea $(x,y)$ el par ordenado que denota el número complejo $x+y\omega$ para $\omega=e^{2\pi i/3}$ . Definimos un polígono de tablero de ajedrez $\omega$ como un polígono (sin autointersecciones) cuyos lados están situados a lo largo de rectas de la forma $x=a$ o $y=b$ , donde $a$ y $b$ son enteros. Estas rectas dividen el interior en triángulos unitarios, que se sombrean alternadamente de negro y blanco de modo que triángulos adyacentes tengan colores distintos. Embaldosar un polígono de tablero de ajedrez $\omega$ con rombos es cubrir exactamente el polígono con rombos no superpuestos formados por dos triángulos contiguos. Finalmente, un embaldosado elegante es aquel tal que para todo hexágono unitario embaldosado con tres rombos, cada rombo tiene un triángulo negro a su izquierda (definido por la orientación horaria) y un triángulo blanco a su derecha (de modo que los rombos son BW, BW, BW en orden horario). a) Demuestre que si un polígono de tablero de ajedrez $\omega$ puede embaldosarse con rombos, entonces puede hacerse de manera elegante. b) Demuestre que tal embaldosado elegante es único. Victor Wang.

9 Para un conjunto $A$ de enteros, defina $f(A)=\{x^2+xy+y^2: x,y\in A\}$ . ¿Existe una constante $c$ tal que para todo entero positivo $n$ , existe un conjunto $A$ de tamaño $n$ tal que $|f(A)|\le cn$ ? David Yang.

6 Demuestre que si $a$ y $b$ son enteros positivos y $ab>1$ , entonces \[\left\lfloor\frac{(a-b)^2-1}{ab}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{(a-b)^2-1}{ab-1}\right\rfloor.\] Aquí $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . Calvin Deng.

1 En el triángulo acutángulo $ABC$ , sean $D,E,F$ los pies de las alturas desde $A,B,C$ , respectivamente, y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $\triangle AEF$ . Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las circunferencias que pasan por $D$ y son tangentes a $\omega$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Demuestre que $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en un punto $P$ sobre $BC$ distinto de $D$ . Ray Li.

2 En el triángulo $ABC$ , $P$ es un punto sobre la altura $AD$ . $Q,R$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $AB,AC$ , y $QP,RP$ cortan a $BC$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de $BQS$ y $CRT$ cortan a $QR$ en $X,Y$ . a) Demuestre que $SX,TY, AD$ son concurrentes en un punto $Z$ . b) Demuestre que $Z$ está sobre $QR$ si y solo si $Z=H$ , donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ . Ray Li.

3 $ABC$ es un triángulo con incentro $I$ . El pie de la perpendicular desde $I$ a $BC$ es $D$ , y el pie de la perpendicular desde $I$ a $AD$ es $P$ . Demuestre que $\angle BPD = \angle DPC$ . Alex Zhu.