1 Dada una sucesión de longitud $2017$ que consiste en los primeros $2017$ enteros positivos en orden arbitrario (cada número aparece exactamente una vez). Consideremos el primer término de la sucesión; sea $k$. A partir de la sucesión dada formamos una nueva sucesión de longitud 2017, tal que los primeros $k$ elementos de la nueva sucesión son los mismos que los primeros $k$ elementos de la sucesión original, pero en orden inverso, mientras que los demás elementos permanecen sin cambios. Demuestre que si continuamos transformando la sucesión, eventualmente obtendremos una sucesión con primer elemento $1$.

4 bloques de patio que son hexágonos de $1$ unidad por lado se usan para delimitar un jardín colocando los bloques borde con borde con $n$ en cada lado. El diagrama indica el recorrido de los bloques alrededor del jardín cuando $n=5.$ [asy] size(250);int i,j; real r=sqrt(3); for(i=0; i<6; i=i+1) { for(j=0; j<4; j=j+1) { draw(shift(((j*r)*dir(60*i+150)).x, ((j*r)*dir(60*i+150)).y)*shift((4r*dir(60i+30)).x,(4r*dir(60i+30)).y)*polygon(6)); }}[/asy] Si $n=202,$ entonces el área del jardín encerrado por el recorrido, sin incluir el propio recorrido, es $m(\sqrt{3}/2)$ unidades cuadradas, donde $m$ es un entero positivo. Encuentra el residuo cuando $m$ se divide entre $1000.$

$ S$$ \mathbb R^2$$ p(x,y)\in\mathbb R[x,y]$\[ S = \{(x,y)\in\mathbb R^2|p(x,y) = 0\} \]

2024.4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $M$, $N$, $P$ y $Q$ los puntos medios de los lados $AB$, $CD$, $BC$ y $DA$, respectivamente. La recta $MN$ corta a los segmentos $AP$ y $CQ$ en los puntos $X$ y $Y$, respectivamente. Supón que $MX = NY$. Demuestra que $\text{área}(ABCD) = 4 \cdot \text{área}(BXDY).$

Define una estrella regular de $n$ puntas como la unión de $n$ segmentos de recta $P_1P_2, P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ tales que $\bullet$ los puntos $P_1, P_2,\ldots, P_n$ son coplanares y no hay tres de ellos colineales, $\bullet$ cada uno de los $n$ segmentos intersecta al menos a otro de los segmentos en un punto distinto de un extremo, $\bullet$ todos los ángulos en $P_1, P_2,\ldots, P_n$ son congruentes, $\bullet$ todos los $n$ segmentos $P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ son congruentes, y $\bullet$ el recorrido $P_1P_2, P_2P_3,\ldots, P_nP_1$ gira en sentido contrario a las manecillas del reloj con un ángulo menor de 180 grados en cada vértice. No existen estrellas regulares de 3 puntas, 4 puntas ni 6 puntas. Todas las estrellas regulares de 5 puntas son semejantes, pero hay dos estrellas regulares de 7 puntas no semejantes. ¿Cuántas estrellas regulares de 1000 puntas no semejantes hay?

1 $\textbf{Problem C.1}$ Hay dos montones de monedas, cada uno con $2010$ piezas. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan una partida por turnos ( $A$ juega primero). En cada turno, el jugador al que le toca debe tomar una o más monedas de un montón o exactamente una moneda de cada montón. Quien toma la última moneda es el ganador. ¿Qué jugador ganará si ambos juegan de la mejor manera posible?

2023.4 Matías tiene una hoja de papel rectangular $ABCD$, con $AB<AD$. Inicialmente, dobla la hoja a lo largo de una línea recta $AE$, donde $E$ es un punto del lado $DC$, de modo que el vértice $D$ quede sobre el lado $BC$, como se muestra en la figura. Luego dobla la hoja nuevamente a lo largo de una línea recta $AF$, donde $F$ es un punto del lado $BC$, de modo que el vértice $B$ quede sobre la línea $AE$; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la línea $EF$. Matías observó que los vértices $B$ y $C$ quedaron ubicados en el mismo punto del segmento $AE$ después de hacer los dobleces. Calcula la medida del ángulo $\angle DAE$.

5 Para completar un trabajo grande, se contrataron 1000 trabajadores, justo los suficientes para terminar el trabajo a tiempo. Todos los trabajadores permanecieron en el trabajo mientras se hizo el primer cuarto del trabajo, así que el primer cuarto se completó a tiempo. Luego se despidieron 100 trabajadores, por lo que el segundo cuarto del trabajo se completó con retraso. Luego se despidieron otros 100 trabajadores, por lo que el tercer cuarto del trabajo se completó aún más con retraso. Dado que todos los trabajadores trabajan al mismo ritmo, ¿cuál es el número mínimo de trabajadores adicionales, además de los 800 que aún están en el trabajo al final del tercer cuarto, que deben ser contratados después de que se haya completado tres cuartos del trabajo para que todo el proyecto pueda completarse a tiempo o antes?

La figura adjunta muestra dos cuerdas que se intersecan en un círculo, con \(B\) en el arco menor \(AD\). Supón que el radio del círculo es 5, que \(BC = 6\), y que \(AD\) es bisecado por \(BC\). Supón además que \(AD\) es la única cuerda que comienza en \(A\) y es bisecada por \(BC\). Se sigue que el seno del arco menor \(AB\) es un número racional. Si esta fracción se expresa como una fracción \(m/n\) en términos mínimos, ¿cuál es el producto \(mn\)? [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); pair A=dir(200), D=dir(95), M=midpoint(A--D), C=dir(30), BB=C+2*dir(C--M), B=intersectionpoint(M--BB, Circle(origin, 1)); draw(Circle(origin, 1)^^A--D^^B--C); real r=0.05; pair M1=midpoint(M--D), M2=midpoint(M--A); draw((M1+0.1*dir(90)*dir(A--D))--(M1+0.1*dir(-90)*dir(A--D))); draw((M2+0.1*dir(90)*dir(A--D))--(M2+0.1*dir(-90)*dir(A--D))); pair point=origin; label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$D$", D, dir(point--D));[/asy]

5 5. Tom tiene 13 pesas que parecen iguales; sin embargo, 12 de ellas pesan lo mismo y la 13.ª pesa es falsa y pesa más que las demás. También tiene dos balanzas: una muestra correctamente qué platillo es más pesado o que sus pesos son iguales; la otra da el resultado correcto cuando los pesos en los platillos difieren, y da un resultado aleatorio cuando los pesos son iguales. (Tom no sabe cuál balanza es cuál). Tom puede elegir la balanza antes de cada pesada. Demuestre que puede determinar con seguridad la pesa falsa en tres pesadas. Andrey Arzhantsev