6 Para cualquier entero positivo $n$ , defina el subconjunto $S_n$ de los números naturales como sigue $$ S_n = \left\{x^2+ny^2 : x,y \in \mathbb{Z} \right\}.$$ Halle todos los enteros positivos $n$ tales que exista un elemento de $S_n$ que no pertenezca a ninguno de los conjuntos $S_1, S_2,\dots,S_{n-1}$ . Propuesto por Yahya Motevassel

1 Encuentre todos los polinomios $P(x,y)$ con coeficientes reales tales que para todos los números reales $x,y$ y $z$ : $$P(x,2yz)+P(y,2zx)+P(z,2xy)=P(x+y+z,xy+yz+zx).$$ Propuesto por Sina Saleh

2 Hesam eligió $10$ enteros positivos distintos y le dio a Masoud todos los $\gcd$ por pares y los ${\text lcm}$ por pares (un total de $90$ números). ¿Puede Masoud encontrar siempre los primeros $10$ números, solo conociendo estos $90$ números? Propuesto por Morteza Saghafian M.Sharifi

3 En el triángulo $ABC$ , $M,N$ y $P$ son los puntos medios de los lados $BC,CA$ y $AB$ . El punto $K$ está sobre el segmento $NP$ de modo que $AK$ biseca a $\angle BKC$ . Las rectas $MN,BK$ se intersecan en $E$ y las rectas $MP,CK$ se intersecan en $F$ . Suponga que $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a $BC$ y $L$ la segunda intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AKH, HEF$ . Demuestre que $MK,EF$ y $HL$ son concurrentes. Propuesto por Alireza Dadgarnia

4 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$ . La reflexión de la circunferencia de los nueve puntos respecto a $AH$ interseca a la circunferencia circunscrita en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $AH$ es la bisectriz externa de $\angle XHY$ . Propuesto por Mohammad Javad Shabani

5 Se elige un subgrafo de un grafo completo con $n$ vértices tal que el número de sus aristas es un múltiplo de $3$ y el grado de cada vértice es un número par. Demuestre que podemos asignar un peso a cada triángulo del grafo tal que para cada arista del subgrafo elegido, la suma de los pesos de los triángulos que contienen a esa arista es igual a uno, y para cada arista que no está en el subgrafo, esta suma es igual a cero. Propuesto por Morteza Saghafian

6 $x,y$ y $z$ son números reales tales que $x+y+z=xy+yz+zx$ . Demuestre que $$\frac{x}{\sqrt{x^4+x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^4+y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^4+z^2+1}}\geq \frac{-1}{\sqrt{3}}.$$ Propuesto por Navid Safaei

6 Si $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c=abc$ demuestre que $$\frac{abc}{3\sqrt{2}}\left ( \sum_{cyc}\frac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab+1} \right )\geq \sum_{cyc}\frac{a}{a^2+1}$$

1 Sean $A_1, A_2, ... , A_k$ los subconjuntos de $\left\{1,2,3,...,n\right\}$ tales que para todos $1\leq i,j\leq k$ : $A_i\cap A_j \neq \varnothing$ . Demuestre que existen $n$ enteros positivos distintos $x_1,x_2,...,x_n$ tales que para cada $1\leq j\leq k$ : $$lcm_{i \in A_j}\left\{x_i\right\}>lcm_{i \notin A_j}\left\{x_i\right\}$$ Propuesto por Morteza Saghafian, Mahyar Sefidgaran M.Sharifi

2 Determine el menor número real $k$ tal que la desigualdad $$\left(\frac{2a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{2b}{b-c}\right)^2+\left(\frac{2c}{c-a}\right)^2+k \geq 4\left(\frac{2a}{a-b}+\frac{2b}{b-c}+\frac{2c}{c-a}\right)$$ se cumple para todos los números reales $a,b,c$ . Propuesto por Mohammad Jafari