2 Sea $n\geqslant 3$ un entero. Demuestre que existe un conjunto $S$ de $2n$ enteros positivos que satisface la siguiente propiedad: para todo $m=2,3,...,n$ el conjunto $S$ puede particionarse en dos subconjuntos con sumas de elementos iguales, siendo uno de los subconjuntos de cardinalidad $m$ .

1 Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que $a^2+f(a)f(b)$ es divisible por $f(a)+b$ para todos los enteros positivos $a,b$ .

1 Determine todos los pares $(n, k)$ de enteros positivos distintos tales que existe un entero positivo $s$ para el cual el número de divisores de $sn$ y de $sk$ son iguales.

2 Sea $m$ un entero positivo. Halle el número de soluciones reales de la ecuación $$|\sum_{k=0}^{m} \binom{2m}{2k}x^k|=|x-1|^m$$

4 Sea $O$ el circuncentro, y $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario de $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y de sus antípodas en $\Omega$ . Denótese por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ , respectivamente. Las rectas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la recta $OP$ .

1 Determine si existe un entero positivo $n$ tal que para cualesquiera $n$ enteros positivos consecutivos, hay uno de ellos (denótese $c$ ) tal que $c$ puede escribirse como suma de enteros consecutivos (no necesariamente todos positivos) de a lo sumo $2020$ maneras distintas.

4 Considere un tablero de $2018 \times 2019$ con enteros en cada cuadrado unitario. Se dice que dos cuadrados unitarios son vecinos si comparten una arista común. En cada turno, usted elige algunos cuadrados unitarios. Luego, para cada cuadrado unitario elegido se calcula el promedio de todos sus vecinos. Finalmente, después de realizar estos cálculos, el número en cada cuadrado unitario elegido es reemplazado por el promedio correspondiente. ¿Es siempre posible lograr que los números en todos los cuadrados sean iguales después de una cantidad finita de turnos?

5 Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ f(x^2 + f(y)) = f(f(x)) + f(y^2) + 2f(xy) \] para todos los números reales $x$ y $y$ .

1 Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f:\mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{Q}_{>0}$ que satisfacen $$f(x^2f(y)^2)=f(x)^2f(y)$$ para todos $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ puntos sobre los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente, tales que el triángulo $A_1B_1C_1$ es equilátero. Sean $I_1$ y $\omega_1$ el incentro y la circunferencia inscrita de $AB_1C_1$ . Defina $I_2$ , $\omega_2$ e $I_3$ , $\omega_3$ de manera similar, con respecto a los triángulos $BA_1C_1$ y $CA_1B_1$ , respectivamente. Sea $l_1 \neq BC$ la recta tangente exterior a $\omega_2$ y $\omega_3$ . Defina $l_2$ y $l_3$ de manera similar, con respecto a los pares $\omega_1$ , $\omega_3$ y $\omega_1$ , $\omega_2$ . Sabiendo que $A_1I_2 = A_1I_3$ , demuestre que las rectas $l_1$ , $l_2$ , $l_3$ son concurrentes.