Sean los puntos $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC.$ Sea $D$ el punto medio de $BC.$ Sea $E$ el punto sobre la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $AE\perp HE.$ Sea $F$ el punto tal que $AEHF$ es un rectángulo. Demuestre que $D,E,F$ son colineales. ayan.nmath

Determine todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$ .

3 Hay $2019$ monedas sobre una mesa. Algunas están colocadas con la cara hacia arriba y otras con la cruz hacia arriba. Un grupo de $2019$ personas realiza las siguientes operaciones: la primera persona elige una moneda cualquiera y la voltea, la segunda persona elige dos monedas cualesquiera y las voltea, y así sucesivamente, y la persona $2019$ - ésima voltea todas las monedas. Demuestre que sin importar qué lados estén hacia arriba inicialmente, las $2019$ personas pueden idear un procedimiento para voltear las monedas tal que al final de las operaciones todas las monedas tengan el mismo lado hacia arriba.

1 Sea $n$ un entero positivo divisible por $4$ . Halle el número de permutaciones $\sigma$ de $(1,2,3,\cdots,n)$ que satisfacen la condición $\sigma(j)+\sigma^{-1}(j)=n+1$ para todo $j \in \{1,2,3,\cdots,n\}$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=\angle C=30^{\circ}.$ Los puntos $D,E,F$ se eligen sobre los lados $AB,BC,CA$ respectivamente de modo que $\angle BFD=\angle BFE=60^{\circ}.$ Sean $p$ y $p_1$ los perímetros de los triángulos $ABC$ y $DEF$ , respectivamente. Demuestre que $p\le 2p_1.$ ayan.nmath

2 Un número de $10$ dígitos se llama interesante si sus dígitos son distintos y es divisible por $11111$ . Halle entonces el número de números interesantes.

3 Sean $a_n, b_n$ sucesiones de reales positivos tales que, $$a_{n+1}= a_n + \frac{1}{2b_n}$$ $$b_{n+1}= b_n + \frac{1}{2a_n}$$ para todo $n\in\mathbb N$ . Demuestre que, $\text{max}\left(a_{2018}, b_{2018}\right) >44$ .

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo con centro $O$ que no se encuentra sobre ninguna de las dos diagonales. Si el circuncentro del triángulo $AOC$ se encuentra sobre la recta $BD$ , demuestre que el circuncentro del triángulo $BOD$ se encuentra sobre la recta $AC$ .

2 Para un entero $n\ge 2$ halle todos los $a_1,a_2,\cdots ,a_n, b_1,b_2,\cdots , b_n$ tales que (a) $0\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\le 1\le b_1\le b_2\le \cdots \le b_n;$ (b) $\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)=2n;$ (c) $\sum_{k=1}^n (a_k^2+b_k^2)=n^2+3n.$

3 Un polígono convexo tiene la propiedad de que sus vértices están coloreados con tres colores, cada color aparece al menos una vez y cualesquiera dos vértices adyacentes tienen colores distintos. Demuestre que el polígono puede dividirse en triángulos mediante diagonales, de las cuales no hay dos que se intersequen en el interior del polígono, de manera que todos los triángulos resultantes tengan vértices de los tres colores.