4 Llamemos agradable a un conjunto de enteros positivos si el número de sus elementos es igual al promedio de sus números. Llamemos número asombroso a un entero positivo $n$ si el conjunto $\{1, 2 , . . . , n\}$ puede particionarse en subconjuntos agradables. a) Demuestre que todo cuadrado perfecto es asombroso. b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no son asombrosos.

4 Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2,...,a_n$ números reales. Demuestre que existen enteros positivos $m, k$ $<=n$ , $|$ $(a_1+a_2+...+a_m)$ $-$ $(a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_n)$ $|$ $<=$ $|$ $a_k$ $|$

3 ¿Existe un entero positivo $n$ , tal que $n+2$ divida a $S=1^{2019}+2^{2019}+...+n^{2019}$ ?

1 Todos los puntos del plano están coloreados con $n$ colores. En cada recta, hay puntos de no más de dos colores. ¿Cuál es el número máximo de colores?

2 Demuestre que la ecuación $(3x+4y)(4x+5y)=7^z$ no tiene solución en números naturales.

3 Sea $S$ un conjunto de números reales tal que: i) $1$ pertenece a $S$ ; ii) para cualesquiera $a, b$ en $S$ (no necesariamente distintos), tenemos que $a-b$ también pertenece a $S$ ; iii) para cualquier $a$ en $S$ ( $a$ es distinto de $0$ ) , tenemos que $1/a$ pertenece a $S$ . Demuestre que para todo $a, b$ en $S$ , tenemos que $ab$ pertenece a $S$ .

4 En el triángulo $ABC$ , donde $<$ $ACB$ $=$ $45$ , $O$ y $H$ son el centro de la circunferencia circunscrita y el ortocentro, respectivamente. La recta que pasa por $O$ y es perpendicular a $CO$ interseca a $AC$ y $BC$ en $K$ , respectivamente $L$ . Demuestre que el perímetro de $KLH$ es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

3 Sea $n$ un número natural. Tenemos $n$ colores. Cada uno de los números $1, 2, 3,... , 1000$ fue coloreado con uno de los $n$ colores. Se sabe que, para cualesquiera dos números distintos, si uno divide al otro entonces estos dos números tienen colores diferentes. Determine el menor valor posible de $n$ .

2 Sean $AA_1$ y $BB_1$ alturas en un triángulo acutángulo que se intersecan en $H$ . Sean $A_1A_2$ y $B_1B_2$ alturas en los triángulos $HBA_1$ y $HB_1A$ , respectivamente. Demuestre que $A_2B_2$ y $AB$ son paralelas.

4 Dos de los números $a+b, a-b, ab, a/b$ son positivos y los otros dos son negativos. Halle el signo de $b$