8 Determine todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ con la propiedad \[f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x), \quad \forall x,y \in \mathbb R.\]

6 Sea $B$ un punto de una circunferencia $S_1$ , y sea $A$ un punto distinto de $B$ en la tangente en $B$ a $S_1$ . Sea $C$ un punto que no está en $S_1$ tal que el segmento $AC$ corta a $S_1$ en dos puntos distintos. Sea $S_2$ la circunferencia que toca a $AC$ en $C$ y toca a $S_1$ en un punto $D$ del lado opuesto de $AC$ respecto de $B$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $BCD$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ .

4 Sea $ \omega $ la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC $ que toca el lado $ BC $ en el punto $ A '$ . Sea $ AA '$ la que interseca a $ \omega $ en $ P \neq A $ . Sean $ CP $ y $ BP $ las que intersecan a $ \omega $ , respectivamente, en los puntos $ N $ y $ M $ distintos de $ P $ . Demuestre que $ AA ', BN $ y $ CM $ se intersecan en un mismo punto.

4 Determine la menor constante $ C$ tal que para todo $ x,y$ real se cumple \[ 1+(x+y)^2 \leq C \cdot (1+x^2) \cdot (1+y^2)\] .

1 Halle todos los números naturales $ n$ tales que existen $ x_1,x_2,\dots,x_{n+1}\in\mathbb{N}$ con $ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\dots+\frac{1}{x_n^2}=\frac{n+1}{x_{n+1}^2}$ .

8 Para $n$ un entero positivo impar, los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez $n\times n$ se colorean alternadamente de negro y blanco, con las cuatro esquinas coloreadas de negro. Un trominó es una forma de $L$ formada por tres cuadrados unitarios conectados. ¿Para qué valores de $n$ es posible cubrir todos los cuadrados negros con trominós que no se superponen? Cuando es posible, ¿cuál es el número mínimo de trominós necesarios?

7 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$ que satisfacen $f(xf(y))=f(xy)+x$ para todo $x, y\in\mathbb{R}^{+}$ , donde $\mathbb{R}^{+}$ denota el conjunto de los números reales positivos.

6 Demuestre que para todo primo $p>3$ , $\binom{2p}{p}-2$ es divisible por $p^3$

5 Dado un triángulo $ ABC $ con ángulos agudos $ B $ y $ C $ . El rectángulo $ KLMN $ está inscrito en él de modo que los puntos $ L $ y $ M $ se encuentran sobre los lados $ AB $ y $ AC $ , respectivamente, y los puntos $ N $ y $ K $ están sobre el lado $ CB $ . El punto $ O $ es el centro del rectángulo. Las rectas $ BO $ y $ CO $ intersecan los lados $ MN $ y $ LK $ del rectángulo en los puntos $ C_1 $ y $ B_1 $ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ AO, BB_1 $ y $ CC_1 $ se intersecan en un mismo punto.

4 Dos láminas cuadradas tienen áreas iguales a $ 2003$ . Cada una de las láminas se divide arbitrariamente en $ 2003$ polígonos que no se superponen; además, cada uno de los polígonos tiene área unitaria. Luego se superponen las dos láminas, y se pide demostrar que la doble capa obtenida puede perforarse $ 2003$ veces, de modo que cada uno de los $ 4006$ polígonos resulte perforado exactamente una vez.