14 Una línea quebrada \(A_1A_2 \ldots A_n\) está dibujada en un cuadrado de \(50 \times 50\), de modo que la distancia desde cualquier punto del cuadrado a la línea quebrada es menor que \(1\). Demuestra que su longitud total es mayor que \(1248\). Amir

8 Determina si existen números reales distintos $a, b, c, t$ para los cuales: (i) la ecuación $ax^2 + btx + c = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_1, x_2,$ (ii) la ecuación $bx^2 + ctx + a = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_2, x_3,$ (iii) la ecuación $cx^2 + atx + b = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_3, x_1.$ Amir

10 Demuestra que podemos encontrar un conjunto infinito de enteros positivos de la forma $2^n-3$ (donde $n$ es un entero positivo) tal que cada par de ellos sean primos relativos.

12 Se dan dos triángulos equiláteros congruentes $ABC$ y $A'B'C'$ en el plano. Demuestra que los puntos medios de los segmentos $AA', BB', CC'$ o son colineales o forman un triángulo equilátero. Amir

6 Sea $n \geq 2$ un número natural. Encuentra una manera de asignar números naturales a los vértices de un $2n$-ágono regular tal que se satisfagan las siguientes condiciones: (1) solo se usan los dígitos $1$ y $2$; (2) cada número consta de exactamente $n$ dígitos; (3) se asignan números distintos a vértices distintos; (4) los números asignados a dos vértices vecinos difieren en exactamente un dígito. Amir

13 Sea $ A = (a_{ij})$, donde $ i,j = 1,2,\ldots,n$, una matriz cuadrada con todos los $ a_{ij}$ enteros no negativos. Para cada $ i,j$ tal que $ a_{ij} = 0$, la suma de los elementos en la $ i$-ésima fila y la $ j$-ésima columna es al menos $ n$. Demuestra que la suma de todos los elementos de la matriz es al menos $ \frac {n^2}{2}$.

2 Se nos dan $3n$ puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{3n}$ en el plano, sin tres de ellos colineales. Demuestra que se pueden construir $n$ triángulos disjuntos con vértices en los puntos $A_i$.

6 Demuestra que para cualquier $n \not \equiv 0 \pmod{10}$ existe un múltiplo de $n$ que no contiene el dígito $0$ en su expansión decimal. Amir

Dados cuatro planos paralelos distintos, demuestra que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano.

16 Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Sea $P_i$ el poliedro obtenido a partir de $P_1$ mediante una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$. Demuestra que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.