2 En una fiesta había un número finito de personas, algunas de las cuales eran amigas entre sí. Entre cualesquiera $4$ de ellas había o bien $3$ que eran todas amigas entre sí o bien $3$ que no eran amigas entre sí. Demuestre que se puede separar a todas las personas de la fiesta en dos grupos de tal manera que en el primer grupo todos sean amigos entre sí y que todas las personas del segundo grupo no sean amigas de nadie más del segundo grupo. (La amistad es una relación mutua).

4 Halle todos los pares de enteros $x,y$ para los cuales \[x^3+x^2+x=y^2+y.\]

2 Hay lámparas en cada casilla de una tabla de $n\times n$ . Al inicio todas las lámparas están apagadas. Un movimiento consiste en elegir $m$ casillas consecutivas en una fila o en una columna y cambiar el estado de esas $m$ lámparas. Demuestre que se puede alcanzar un estado en el que todas las lámparas estén encendidas solamente si $m$ divide a $n.$

3 Sean $K$ y $L$ los puntos sobre la semicircunferencia con diámetro $AB$ . Denote la intersección de $AK$ y $AL$ como $T$ y sea $N$ el punto tal que $N$ está sobre el segmento $AB$ y la recta $TN$ es perpendicular a $AB$ . Si $U$ es la intersección de la mediatriz de $AB$ y $KL$ y $V$ es un punto sobre $KL$ tal que los ángulos $UAV$ y $UBV$ son iguales. Demuestre que $NV$ es perpendicular a $KL$ .

1 Determine el menor entero positivo n tal que la siguiente afirmación es verdadera: si un polinomio con coeficientes enteros toma el valor 2 en n enteros diferentes, entonces no puede tomar el valor 4 en ningún entero.

2 En cada casilla de una tabla de 2009*2009 se puede escribir un 1 o un -1. Denote Ak el producto de todos los números de la k-ésima fila y Bj el producto de todos los números de la j-ésima columna. ¿Es posible escribir los números de tal manera que $ \sum_{i=1}^{2009}{Ai}+ \sum_{i=1}^{2009}{Bi}=0$ ?

3 Se da un cuadrilátero convexo $ ABCD$ en el cual $ \angle B+\angle C < 180^0$ . Las rectas $ AB$ y $ CD$ se intersecan en el punto E. Demuestre que $ CD*CE=AC^2+AB*AE \leftrightarrow \angle B= \angle D$

4 Determine todas las ternas de enteros positivos $ (a,b,c)$ para las cuales $ \mid2^a-b^c\mid=1$

1 Resuelva en el conjunto de los números reales: \[ 3\left(x^2 + y^2 + z^2\right) = 1, \] \[ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz\left(x + y + z\right)^3. \]

2 Cada número natural se colorea con uno de los $ k$ colores. Demuestre que existen cuatro números naturales distintos $ a, b, c, d$ , todos coloreados del mismo color, tales que $ ad = bc$ , $ \displaystyle \frac b a$ es potencia de 2 y $ \displaystyle \frac c a$ es potencia de 3.