4 Halle todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que si $n$ no es divisible por ningún primo menor que $2014$ , entonces $n+c$ divide a $a^n+b^n+n$ . Propuesto por Evan Chen

2 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo cuyos lados $AB$ y $DE$ son paralelos. Cada una de las diagonales $AD, BE, CF$ divide a este hexágono en dos cuadriláteros de perímetros iguales. Demuestre que estas tres diagonales se intersecan en un punto.

3 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC>AB.$ Una circunferencia tangente a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente, interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $K$ y $L$ . Sean $X$ y $Y$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, que satisfacen \[ \frac{AX}{AB}=\frac{CE}{BD+CE} \quad \text{and} \quad \frac{AY}{AC}=\frac{BD}{BD+CE} \] Muestre que las rectas $XY, BC$ y $KL$ son concurrentes.

2 Determine la cantidad mínima posible de divisores primos distintos de $19^{4n}+4$ , para un entero positivo $n$ .

3 Hay $2014$ bolas con $106$ colores distintos, $19$ de cada color. Determine el menor valor posible de $n$ de modo que, sin importar cómo se dispongan estas bolas alrededor de un círculo, se puedan elegir $n$ bolas consecutivas de manera que entre ellas haya $53$ bolas con colores distintos.

2 Los números reales positivos $x$ y $y$ satisfacen la relación $x + y = 3 \sqrt{xy}$ . Halle el valor de la expresión numérica $$E=\left| \frac{x-y}{x+y}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}\right|.$$

1 Los números reales positivos $a, b, c, d$ satisfacen la igualdad $$\left(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\right) \left(\frac{1}{c}+ \frac{1}{d}\right) + \frac{1}{ab}+ \frac{1}{cd} = \frac{6}{\sqrt{abcd}}$$ Halle el valor de $$\frac{a^2+ac+c^2}{b^2-bd+d^2}$$

C2 Hay $n$ bloques colocados en las casillas unitarias de un tablero de ajedrez de $n \times n$ tales que hay exactamente un bloque en cada fila y en cada columna. Halle el valor máximo $k$ , en términos de $n$ , tal que sin importar cómo estén dispuestos los bloques, podemos colocar $k$ torres en el tablero sin que dos de ellas se amenacen entre sí. (Dos torres no se amenazan entre sí si hay un bloque entre ellas.)

7 Si $a,b,c$ son reales positivos tales que $a+b+c=1$ , demuestre que \[ 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1 . \]

4 Describa todas las figuras cerradas y acotadas $\Phi$ del plano tales que cualesquiera dos de sus puntos se pueden conectar mediante un semicírculo contenido en $\Phi$ . Amir