4 Los vértices de un grafo conexo no pueden colorearse con menos de $n+1$ colores (de modo que vértices adyacentes tengan colores distintos). Demuestra que se pueden eliminar $\dfrac{n(n-1)}{2}$ aristas del grafo de manera que siga siendo conexo. V. Dolnikov EDIT. La solución oficial confirma que se supone tácitamente que el grafo es finito.

5. Cada cara de un cubo de $7 \times 7 \times 7$ está dividida en cuadrados unitarios. ¿Cuál es el número máximo de cuadrados que se pueden elegir de modo que no haya dos cuadrados elegidos que tengan un punto en común? A. Chukhnov

6 trinomios cuadráticos con coeficientes principales positivos están colocados en las casillas de una tabla de $6 \times 6$. Sus $108$ coeficientes son todos enteros desde $-60$ hasta $47$ (cada número se usa una vez). Demuestra que al menos en una columna la suma de todos los trinomios tiene una raíz real. K. Kokhas & F. Petrov

A1 Demuestra que para todos los enteros positivos $d{}$ suficientemente grandes, al menos el $99\%$ de los polinomios de la forma \[\sum_{i\leqslant d}\sum_{j\leqslant d}\pm x^iy^j\] son irreducibles sobre los enteros.

4 Las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $B$ y $C$ se cortan en $D$. La circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ corta a los lados $AC$ y $AB$ nuevamente en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$. Demuestra que $AO$ es perpendicular a $EF$.

2 Determina todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe un polinomio \(f(x)\) con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero \(k\), el número \(f(k)\) es un entero si y solo si \(k\) no es divisible por \(n\); (2) el grado de \(f\) es menor que \(n\). (Hungría) Géza Kós

6 Encuentra el $2019$-ésimo entero estrictamente positivo $n$ tal que $\binom{2n}{n}$ no es divisible por $5$.

1 Demuestra que existen dos funciones $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f\circ g$ es estrictamente decreciente y $g\circ f$ es estrictamente creciente. (Polonia) Andrzej Komisarski y Marcin Kuczma

1 Sea $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ una sucesión de números reales definida de la siguiente manera: $a_0 = 3$, $a_1 = 2$, y $a_2 = 12$; y $2a_{n + 3} - a_{n + 2} - 8a_{n + 1} + 4a_n = 0$ para $n \geq 0$. Demuestra que $a_n$ es siempre un entero estrictamente positivo.

7 Resuelve la ecuación $p^2-pq-q^3=1$ en números primos. A. Golovanov