1 Wiske escribió un entero positivo de $2024$ dígitos en la pizarra. En cada ronda del juego borra el último dígito del entero, sea este dígito $d$, y escribe la suma del número restante y $2d$ en lugar del número anterior. Repite los mismos pasos con el número recién obtenido. Después de cierto número de rondas, Wiske encontró que el nuevo número obtenido era el mismo que el número de la última ronda y detuvo el juego. ¿Cuál es el menor entero posible de $2024$ dígitos con el que Wiske comenzó en este juego? (Kai Chen)

2010.1 Un contenedor cerrado con forma de paralelepípedo rectangular contiene $1$ litro de agua. Si el contenedor descansa horizontalmente sobre tres lados distintos, el nivel del agua es de $2$ cm, $4$ cm y $5$ cm. Calcula el volumen del paralelepípedo.

1 Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida por $a_1=0$ y $$ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}a_k $$ para cualquier entero positivo $n$. Encuentra el término máximo de esta sucesión.

4 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+} \) tales que \( f(x+yf(x)) = xf(1+y) \) para todos los reales positivos \( x, y \).

3 Sea $\omega$ un semicírculo con diámetro $AB$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sean $X,Y$ puntos en el mismo semiplano que $\omega$ con respecto a la recta $AB$ tales que $AMXY$ es un paralelogramo. Sea $XM\cap \omega = C$ y $YM \cap \omega = D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $XYM$. Sea $AC \cap BD= E$ y $ME$ intersecta a $XY$ en $T$. Sea el punto de intersección de $TI$ y $AB$ igual a $Q$ y sea la proyección perpendicular de $T$ sobre $AB$ igual a $P$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $PQ$.

4 Sea $\mathcal{F}$ una familia de subconjuntos (distintos) del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$ tal que para todos $A$, $B\in \mathcal{F}$, se tiene que $A^C\cup B\in \mathcal{F}$, donde $A^C$ es el conjunto de todos los miembros de $\{1,2,\dots,n\}$ que no están en $A$. Demuestra que todo $k\in \{1,2,\dots,n\}$ aparece en al menos la mitad de los conjuntos de $\mathcal{F}$. Stijn Cambie, Mohammad Javad Moghaddas Mehr

Llamamos par binario a un par de números distintos $(a, b)$ si $ab+1$ es una potencia de dos. Dado un conjunto $S$ de $n$ enteros positivos, ¿cuál es el número máximo posible de pares binarios en $S$?

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ e incírculo $\omega$. Sea $\ell$ la tangente a $\omega$ paralela a $BC$ y distinta de $BC$. Sea $D$ la intersección de $\ell$ y $AC$, y sea $M$ el punto medio de $\overline{ID}$. Demuestra que $\angle AMD = \angle DBC$.

2 Sea $X$ el mayor valor posible de la expresión $$min\{bc,2 -a^2\}+min\{ac,2-b^2\}+min\{ab,2-c^2\},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales positivos. De manera similar, sea $Y$ el menor valor posible de la expresión $$max\{a^2,2 -bc\}+max\{b^2,2-ac\}+max\{c^2,2-ab\},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales positivos. Demuestra que $X = Y$. (Ognjen Tešić)

3 Encuentra el menor $\lambda$ real, tal que para cualesquiera enteros positivos $n, a, b$, con $n \nmid a+b$, existe un entero positivo $1 \leq k \leq n-1$, que satisface $$\{\frac{ak} {n}\}+\{\frac{bk} {n}\} \leq \lambda.$$