Dos puntos $X$ y $Y$ dentro del rombo $ABCD$ son tales que $Y$ está dentro del cuadrilátero convexo $BXDC$ y $2\angle XBY = 2\angle XDY = \angle ABC$. Demuestra que las rectas $AX$ y $CY$ son paralelas. S. Berlov

3 Los vértices de un grafo conexo no pueden colorearse con menos de $n+1$ colores (de modo que los vértices adyacentes tengan colores distintos). Demuestra que se pueden quitar $\dfrac{n(n-1)}{2}$ aristas del grafo de manera que siga siendo conexo. V. Dolnikov NOTA. La solución oficial confirma que se supone tácitamente que el grafo es finito.

5 Demuestra que todo polinomio de cuarto grado puede representarse en la forma $P(Q(x))+R(S(x))$, donde $P,Q,R,S$ son trinomios cuadráticos. A. Golovanov EDIT. Se confirma que, suponiendo que los coeficientes son reales, al resolver el problema se obtuvo la puntuación máxima.

6 Resuelve la ecuación $p^2-pq-q^3=1$ en números primos. A. Golovanov

7 puntos $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ son los vértices de un tetraedro regular de arista $1$. Los puntos $B_1$ y $B_2$ se encuentran dentro de la figura limitada por el plano $A_1A_2A_3$ y las esferas de radio $1$ con centros $A_1$, $A_2$, $A_3$. Demuestra que $B_1B_2 < \max\{B_1A_1, B_1A_2, B_1A_3, B_1A_4\}$. A. Kupavsky

8 cartas numeradas del 1 al $2^n$ se reparten entre $k$ niños, $1\leq k\leq 2^n$, de modo que cada niño recibe al menos una carta. Demuestra que el número de formas de hacerlo es divisible por $2^{k-1}$ pero no por $2^k$. M. Ivanov

$ABCDEF$ es un hexágono convexo, tal que en él $AC \parallel DF$, $BD \parallel AE$ y $CE \parallel BF$. Demuestra que \[AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2.\] N. Sedrakyan

4 Las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $B$ y $C$ se cortan en $D$. La circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ corta a los lados $AC$ y $AB$ nuevamente en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$. Demuestra que $AO$ es perpendicular a $EF$.

2 Determina todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe un polinomio \(f(x)\) con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero \(k\), el número \(f(k)\) es un entero si y solo si \(k\) no es divisible por \(n\); (2) el grado de \(f\) es menor que \(n\). (Hungría) Géza Kós

6 Encuentra el $2019$-ésimo entero estrictamente positivo $n$ tal que $\binom{2n}{n}$ no es divisible por $5$.