3 $$Problem 3:$$ ¿Es posible marcar 10 puntos rojos, 10 azules y 10 verdes en un plano de modo que: para cada punto rojo A, el punto (entre los marcados) más cercano a A sea azul; para cada punto azul B, el punto más cercano a B sea verde; y para cada punto verde C, el punto más cercano a C sea rojo?

3 $$Problem3;$$ Si los números reales distintos x,y satisfacen $\{x\} = \{y\}$ y $\{x^3\}=\{y^3\}$ , demuestre que $x$ es una raíz de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros.

2 $$Problem 2:$$ Los puntos $D$ y $E$ se toman sobre el lado $CB$ del triángulo $ABC$ , con $D$ entre $C$ y $E$ , tales que $\angle BAE =\angle CAD$ . Si $AC < AB$ , demuestre que $AC.AE < AB.AD$ .

3 He aquí el problema original: Cita: ¿Existe un conjunto infinito M de rectas en el plano coordenado tal que (i) no haya dos rectas paralelas, y (ii) para cualquier punto entero exista una recta de M que lo contenga? ¿Cambia la respuesta si añadimos una condición más: (iii) cualquier recta de M pasa por al menos 2 puntos enteros?

5. Tenemos una fila infinita de celdas que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Algunas celdas contienen una o más piedras. El número total de piedras es finito. En cada movimiento, el jugador realiza una de las siguientes tres operaciones: 1. Toma tres piedras de alguna celda, y añade una piedra a las celdas ubicadas una celda a la izquierda y una celda a la derecha, saltando una celda en cada caso. 2. Toma dos piedras de alguna celda, y añade una piedra a la celda una posición a la izquierda, saltando una celda, y una piedra a la celda adyacente a la derecha. 3. Toma una piedra de cada una de dos celdas adyacentes, y añade una piedra a la celda a la derecha de estas dos celdas. El proceso termina cuando no son posibles más movimientos. Demuestra que el proceso siempre termina y que la distribución final de piedras no depende de las elecciones de movimientos realizadas por el jugador. https://i.imgur.com/IjcIDOa.png Propuesto por Luka Tsulaia, Georgia

2 Suponga que una función $f : R^+ \to R^+$ satisface $$f(f(x))+x = f(2x).$$ Demuestre que $f(x) \ge x$ para todo $x >0$

Marque seis puntos en un plano de modo que cualesquiera tres de ellos sean vértices de un triángulo isósceles no degenerado.

4 Un conjunto $M$ consta de $n$ elementos. Halle el mayor $k$ para el cual existe una colección de $k$ subconjuntos de $M$ tal que para cualesquiera subconjuntos $A_{1},...,A_{j}$ de la colección, exista un elemento que pertenezca a un número impar de ellos

1 Llamamos $k$ - suma a la suma de cualesquiera $k$ de $n$ números dados (con índices distintos). Dado $n$ , halle todos los $k$ tales que, siempre que más de la mitad de las $k$ - sumas de los números $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ sean positivas, la suma $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ también sea positiva.

4 Un triángulo $A_1B_1C_1$ es una proyección paralela de un triángulo $ABC$ en el espacio. Se dibujan las proyecciones paralelas $A_1H_1$ y $C_1L_1$ de la altura $AH$ y de la bisectriz $CL$ de $\vartriangle ABC$ , respectivamente. Usando regla y compás, construya una proyección paralela de: (a) el ortocentro, (b) el incentro de $\vartriangle ABC$ .