A2 Se dice que dos cuadrados distintos del tablero de ajedrez \(8\times8\) \(C\) son adyacentes si comparten un vértice o un lado. Además, \(g\) se llama una \(C\)-brecha si para toda numeración de los cuadrados de \(C\) con todos los enteros \(1, 2, \ldots, 64\) existen dos cuadrados adyacentes cuyos números difieren en al menos \(g\). Determina la mayor \(C\)-brecha \(g\).

A3 Encuentra $$ \lim_{t\to \infty} e^{-t} \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \frac{e^x -e^y }{x-y} \,dx\,dy, $$ o demuestra que el límite no existe.

B3 Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que para todo divisor primo $p$ de $n^2 + 3$, existe $0 \leq k \leq \sqrt{n}$ con $p \mid k^2+3$.

Sea $B(n)$ el número de unos en la expresión en base dos del entero positivo $n.$ Determina si $$\exp \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ B(n)}{n(n+1)} \right)$$ es un número racional.

B1 Encuentra $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^5 } \sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} (5h^4 -18h^2 k^2 +5k^4).$$

A5 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales y forma el polinomio $$Q(x) = ( x^2 +1) P(x)P'(x) + x(P(x)^2 + P'(x)^2 ).$$ Dado que la ecuación $P(x) = 0$ tiene $n$ raíces reales distintas mayores que $1$, demuestra o refuta que la ecuación $Q(x)=0$ tiene al menos $2n - 1$ raíces reales distintas.

A4 Un punto $P$ se mueve dentro de un cuadrado unitario en línea recta con rapidez unitaria. Cuando llega a una esquina, escapa. Cuando llega a un borde, su línea de movimiento se refleja de modo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Sea $N(t)$ el número de direcciones iniciales desde un punto interior fijo $P_0$ para las cuales $P$ escapa en un tiempo menor o igual a $t$ unidades. Encuentra la menor constante $a$ para la cual existen constantes $b$ y $c$ tales que $$N(t) \leq at^2 +bt+c$$ para todo $t>0$ y para todo punto inicial $P_0$.

B2 Determina el valor mínimo de $$(r-1)^2 + \left(\frac{s}{r}-1 \right)^2 + \left(\frac{t}{s}-1 \right)^{2} + \left( \frac{4}{t} -1 \right)^2$$ para todos los números reales $1\leq r \leq s \leq t \leq 4.$

A6 Supón que cada uno de los vértices de $ABC$ es un punto de la red en el plano $xy$, y que hay exactamente un punto de la red $P$ en el interior del triángulo. La recta $AP$ se prolonga hasta cortar a $BC$ en $E$. Determina el mayor valor posible para la razón de longitudes de los segmentos $$\frac{|AP|}{|PE|}.$$

3 Sean $a, b, c$ números reales positivos, con $0 < a \leq b \leq c$. Demuestra que para cualesquiera números reales positivos $x, y, z$ se cumple la siguiente desigualdad: \[(ax+by+cz) \left( \frac xa + \frac yb+\frac zc \right) \leq (x+y+z)^2 \cdot \frac{(a+c)^2}{4ac}.\] Amir