4 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene una circunferencia inscrita. En cada esquina se inscribe una circunferencia que además es tangente exteriormente a las dos circunferencias inscritas en las esquinas adyacentes. Demuestre que al menos dos circunferencias tienen el mismo tamaño.

1 Halle todos los primos positivos $p$ para los cuales existen enteros $m,n$ que satisfacen : $p=m^2+n^2$ y $m^3+n^3-4$ es divisible por $p$ .

2 Considere el conjunto $A=\{1,2,...,49\}$ . Particionamos $A$ en tres subconjuntos. Demuestre que existe un conjunto entre estos subconjuntos que contiene tres elementos distintos $a,b,c$ tales que $a+b=c$

3 Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión infinita de números reales, para la cual existe un número real $c$ con $0\leq a_i\leq c$ para todo $i$ , tal que \[\left\lvert a_i-a_j \right\rvert\geq \frac{1}{i+j} \quad \text{for all }i,\ j \text{ with } i \neq j. \] Demuestre que $c\geq1$ .

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AB.BC=2.CD.DA$ . Demuestre que $8.BD^2 \leq 9.AC^2$

1 Sean $a,b,c$ números reales no negativos tales que $a^2+b^2+c^2 \le 3$ ; demuestre que $$(a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a)$$

2 El líder de un equipo de la IMO elige enteros positivos $n$ y $k$ con $n > k$ , y se los anuncia al líder adjunto y a un concursante. El líder luego le dice en secreto al líder adjunto una cadena binaria de $n$ dígitos, y el líder adjunto escribe todas las cadenas binarias de $n$ dígitos que difieren de la del líder en exactamente $k$ posiciones. (Por ejemplo, si $n = 3$ y $k = 1$ , y si el líder elige $101$ , el líder adjunto escribiría $001, 111$ y $100$ . ) Al concursante se le permite mirar las cadenas escritas por el líder adjunto y adivinar la cadena del líder. ¿Cuál es el número mínimo de intentos (en términos de $n$ y $k$ ) necesario para garantizar la respuesta correcta?

3 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ e incentro $I$ , y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$ . Los puntos $D$ , $E$ , $F$ se eligen sobre los lados $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ tales que $\overline{ID} \perp \overline{BC}$ , $\overline{IE}\perp \overline{AI}$ , y $\overline{IF}\perp \overline{AI}$ . Suponga que la circunferencia circunscrita de $\triangle AEF$ corta a $\Gamma$ en un punto $X$ distinto de $A$ . Demuestre que las rectas $XD$ y $AM$ se cortan sobre $\Gamma$ . Propuesto por Evan Chen, Taiwán

4 Dos circunferencias $ G_1$ y $ G_2$ se cortan en dos puntos $ M$ y $ N$ . Sea $ AB$ la recta tangente a estas circunferencias en $ A$ y $ B$ , respectivamente, de modo que $ M$ esté más cerca de $ AB$ que $ N$ . Sea $ CD$ la recta paralela a $ AB$ que pasa por el punto $ M$ , con $ C$ sobre $ G_1$ y $ D$ sobre $ G_2$ . Las rectas $ AC$ y $ BD$ se cortan en $ E$ ; las rectas $ AN$ y $ CD$ se cortan en $ P$ ; las rectas $ BN$ y $ CD$ se cortan en $ Q$ . Demuestre que $ EP = EQ$ . Valentin

5 Sea $n$ un entero positivo coprimo con $6$ . Pintamos los vértices de un $n$ -ágono regular con tres colores de modo que haya un número impar de vértices de cada color. Demuestre que existe un triángulo isósceles cuyos tres vértices son de colores distintos.