Olimpiada Iraní de Geometría , Elemental 2019 Problema 2
Como se muestra en la figura, hay dos rectángulos $ABCD$ y $PQRD$ con la misma área, y con bordes correspondientes paralelos. Sean los puntos $N,$ $M$ y $T$ los puntos medios de los segmentos $QR,$ $PC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $N,M$ y $T$ se encuentran en la misma línea.\nhttp://s4.picofile.com/file/8372959484/E02.png
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Olimpiada Iraní de Geometría , Elemental 2019 Problema 1
Hay una mesa con forma de rectángulo de $8\times 5$ con cuatro agujeros en sus esquinas. Después de disparar una bola desde los puntos $A, B$ y $C$ en los caminos mostrados, ¿caerá la bola en alguno de los agujeros después de 6 reflexiones? (La bola se refleja con el mismo ángulo después de contactar los bordes de la mesa.)\nhttp://s5.picofile.com/file/8372960750/E01.png
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 46
Los números $1, 2,\cdots, 16$ están escritos en una matriz cuadrada de $4\times 4$ de modo que la suma de los números en cada fila, cada columna y cada diagonal es la misma y, además, los números $1$ y $16$ se encuentran en esquinas opuestas. Demuestra que la suma de dos números simétricos con respecto al centro del cuadrado es igual a $17$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 45
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en el punto $O$. Sea una línea que pasa por $O$ intersecta el segmento $AB$ en $M$ y el segmento $CD$ en $N$. Demuestre que el segmento $MN$ no es más largo que al menos uno de los segmentos $AC$ y $BD$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 44
Demostrar que de un conjunto de diez números distintos de dos dígitos, siempre es posible encontrar dos subconjuntos disjuntos cuyos miembros tienen la misma suma.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 43
Se da un punto fijo $A$ dentro de un círculo. Considere todas las cuerdas $XY$ del círculo tales que $\angle XAY$ es un ángulo recto, y para todas estas cuerdas construya el punto $M$ simétrico a $A$ con respecto a $XY$. Encuentra el lugar geométrico de los puntos $M$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 42
Se da el número decimal $13^{101}$. En cambio, se escribe como un número ternario. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de este número ternario?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1972 Problema 41
Se da la expansión ternaria $x = 0.10101010\cdots$. Dar la expansión binaria de $x$. Alternativamente, transformar la expansión binaria $y = 0.110110110 \cdots$ en una expansión ternaria.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1972 Problema 40
Demuestre las desigualdades \[\frac{u}{v}\le \frac{\sin u}{\sin v}\le \frac{\pi}{2}\times\frac{u}{v},\text{ para }0 \le u < v \le \frac{\pi}{2}\]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Larga 1972 Problema 39
¿Cuántas tangentes a la curva $y = x^3-3x\:\: (y = x^3 + px)$ se pueden trazar desde diferentes puntos en el plano?
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