¿Es cierto que en cualquier $n$ - gono convexo con $n > 3$ , existe un vértice y una diagonal que pasa por este vértice tal que los ángulos de esta diagonal con ambos lados adyacentes a este vértice son agudos?

Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . El punto $C$ se encuentra en la línea tangente de $A$ a $\omega_1$ tal que $\angle ABC = 90^\circ$ . Una línea arbitraria $\ell$ pasa por $C$ y corta $\omega_2$ en los puntos $P$ y $Q$ . Las líneas $AP$ y $AQ$ cortan $\omega_1$ por segunda vez en los puntos $X$ y $Z$ respectivamente. Sea $Y$ el pie de la altura de $A$ a $\ell$ . Demuestre que los puntos $X, Y$ y $Z$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^\circ$ . Los puntos $E$ y $F$ son el pie de las bisectrices de los vértices $B$ y $C$ respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ se consideran tales que los cuadriláteros $BFPE$ y $CEQF$ son paralelogramos. Demuestre que $\angle PAQ > 150^\circ$ . (Considere el ángulo $PAQ$ que no contiene el lado $AB$ del triángulo.)

Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la línea $AD$ tal que $BK=AB$ . Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$ , y la bisectriz perpendicular de $PC$ interseca la circunferencia del triángulo $APD$ en los puntos $X$ , $Y$ . Demuestre que la circunferencia del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$ .

Tres círculos $\omega_1$ , $\omega_2$ y $\omega_3$ pasan por un punto común, digamos $P$ . La línea tangente a $\omega_1$ en $P$ interseca a $\omega_2$ y $\omega_3$ por segunda vez en los puntos $P_{1,2}$ y $P_{1,3}$ , respectivamente. Los puntos $P_{2,1}$ , $P_{2,3}$ , $P_{3,1}$ y $P_{3,2}$ se definen de manera similar. Demuestre que la bisectriz perpendicular de los segmentos $P_{1,2}P_{1,3}$ , $P_{2,1}P_{2,3}$ y $P_{3,1}P_{3,2}$ son concurrentes.

Encuentre todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que los cuatro triángulos $DAB$ , $CDA$ , $BCD$ y $ABC$ sean semejantes entre sí.

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente se intersecan en los puntos $A$ y $B$ , y el punto $O_1$ se encuentra en $\omega_2$ . Sea $P$ un punto arbitrario que se encuentra en $\omega_1$ . Las líneas $BP, AP$ y $O_1O_2$ cortan $\omega_2$ por segunda vez en los puntos $X$ , $Y$ y $C$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $XPYC$ es un paralelogramo.

Para un polígono convexo (es decir, todos los ángulos menores de $180^\circ$ ) llame a una diagonal bisectriz si biseca tanto el área como el perímetro del polígono. ¿Cuál es el número máximo de diagonales bisectrices para un pentágono convexo?

Se da el cuadrilátero $ABCD$ tal que $$\n\angle DAC = \angle CAB = 60^\circ,\n$$ y $$\nAB = BD - AC.\n$$ Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $E$ . Demuestre que $$\n\angle ADB = 2\angle BEC.\n$$

Hay $n>2$ líneas en el plano en posición general; es decir, dos cualesquiera de ellas se encuentran, pero no tres son concurrentes. Todos sus puntos de intersección están marcados, y luego se eliminan todas las líneas, pero los puntos marcados permanecen. No se sabe qué punto marcado pertenece a qué dos líneas. ¿Es posible saber a qué línea pertenece cada punto y restaurarlos todos?