Llamamos a una secuencia de enteros una secuencia de tipo Fibonacci si es infinita en ambos sentidos y $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ para cualquier $n\in\mathbb{Z}$. ¿Cuántas secuencias de tipo Fibonacci podemos encontrar, con la propiedad de que en estas secuencias hay dos términos consecutivos, estrictamente positivos, y menores o iguales que $N$? (dos secuencias se consideran iguales si difieren sólo por un desplazamiento de índices)

Se dan siete primos impares diferentes. ¿Es posible que para dos de ellos, la diferencia de sus octavas potencias sea divisible por todos los restantes?

Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$ donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}.$ Demostrar que, para cada $ n$ , hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores, Alicia y Bob, están jugando el siguiente juego: - Alicia elige $n$ números reales; no necesariamente distintos. - Alicia escribe todas las sumas por pares en una hoja de papel y se la da a Bob. (Hay $\frac{n(n-1)}{2}$ tales sumas; no necesariamente distintas.) - Bob gana si encuentra correctamente los $n$ números iniciales elegidos por Alicia con sólo una suposición. ¿Puede Bob estar seguro de ganar para los siguientes casos? a. $n=5$ b. $n=6$ c. $n=8$ Justifica tu(s) respuesta(s). [Por ejemplo, cuando $n=4$, Alicia puede elegir los números 1, 5, 7, 9, que tienen las mismas sumas por pares que los números 2, 4, 6, 10, y por lo tanto Bob no puede estar seguro de ganar.]

Demuestra que \[\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16\] para todos los números reales positivos $a$ y $b$ tales que $ab\geq 1$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ el centro de su circuncírculo $\omega$. Sea $D$ un punto en el segmento de línea $BC$ tal que $\angle BAD = \angle CAO$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\omega$ y la línea $AD$. Si $M$, $N$ y $P$ son los puntos medios de los segmentos de línea $BE$, $OD$ y $AC$, respectivamente, demuestra que los puntos $M$, $N$ y $P$ son colineales.

Encuentra todos los pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales los números $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ y $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ son ambos enteros positivos.

Sean los puntos $A, B$ y $C$ sobre la parábola $\Delta$ tal que el punto $H$ , ortocentro del triángulo $ABC$ , coincide con el foco de la parábola $\Delta$ . Demuestre que al cambiar la posición de los puntos $A, B$ y $C$ en $\Delta$ de modo que el ortocentro permanezca en $H$ , el inradio del triángulo $ABC$ permanece sin cambios.

Dado un triángulo $ABC$ acutángulo no isósceles con circunferencia $\Gamma$ . $M$ es el punto medio del segmento $BC$ y $N$ es el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ (el que no contiene a $A$ ) . $X$ e $Y$ son puntos en $\Gamma$ tales que $BX\parallel CY\parallel AM$ . Asuma que existe un punto $Z$ en el segmento $BC$ tal que la circunferencia del triángulo $XYZ$ es tangente a $BC$ . Sea $\omega$ la circunferencia del triángulo $ZMN$ . La línea $AM$ se encuentra con $\omega$ por segunda vez en $P$ . Sea $K$ un punto en $\omega$ tal que $KN\parallel AM$ , sea $\omega_b$ un círculo que pasa por $B$ , $X$ y tangentes a $BC$ y $\omega_c$ un círculo que pasa por $C$ , $Y$ y tangentes a $BC$ . Demuestre que el círculo con centro $K$ y radio $KP$ es tangente a 3 círculos $\omega_b$ , $\omega_c$ y $\Gamma$ .

Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente. Estos dos círculos se intersecan en los puntos $X$ e $Y$ . $AB$ es una línea tangente común de estos dos círculos tal que $A$ se encuentra en $\omega_1$ y $B$ se encuentra en $\omega_2$ . Sean las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $X$ intersecan $O_1O_2$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Suponga que la línea $BL$ interseca $\omega_2$ por segunda vez en $M$ y la línea $AK$ interseca $\omega_1$ por segunda vez en $N$ . Demuestre que las líneas $AM, BN$ y $O_1O_2$ concurren.