¿Existen enteros $m, n$ y una función $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfagan simultáneamente las siguientes dos condiciones?\n$\bullet$ i) $f(f(x))=2f(x)-x-2$ para cualquier $x \in \mathbb R$ ;\n$\bullet$ ii) $m \leq n$ y $f(m)=n$.

Sean $P, Q,R$ tres polinomios con coeficientes reales tales que \[P(Q(x)) + P(R(x))=\text{constante}\] para todo $x$. Demuestre que $P(x)=\text{constante}$ o $Q(x)+R(x)=\text{constante}$ para todo $x$.

Un conjunto de cuadrados (unitarios) de una tabla de $n\times n$ se llama conveniente si cada fila y cada columna de la tabla contiene al menos dos cuadrados pertenecientes al conjunto. Para cada $n\geq 5$ determine el máximo $m$ para el cual existe un conjunto conveniente hecho de $m$ cuadrados, que se vuelve inconveniente cuando se elimina cualquiera de sus cuadrados.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $D$ un punto interior arbitrario del lado $AB$. Sean $M$ y $N$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $BC$ y $AC$, respectivamente. Sean $H_1$ y $H_2$ los ortocentros de los triángulos $MNC$ y $MND$, respectivamente. Demuestre que el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ no depende de la posición de $D$ en $AB$.

Para un entero positivo, definimos su conjunto de exponentes como la lista no ordenada de todos los exponentes de los primos, en su descomposición. Por ejemplo, $18=2\cdot 3^{2}$ tiene su conjunto de exponentes $1,2$ y $300=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}$ tiene su conjunto de exponentes $1,2,2$. Se dan dos progresiones aritméticas $\big(a_{n}\big)_{n}$ y $\big(b_{n}\big)_{n}$, tales que para cualquier entero positivo $n$, $a_{n}$ y $b_{n}$ tienen el mismo conjunto de exponentes. Demostrar que las progresiones son proporcionales (es decir, existe $k$ tal que $a_{n}=kb_{n}$ para cualquier $n$).

De un rectángulo de $n\times (n-1)$ dividido en cuadrados unitarios, cortamos la esquina, que consiste en la primera fila y la primera columna. (es decir, la esquina tiene $2n-2$ cuadrados unitarios). Para lo siguiente, cuando decimos esquina nos referimos a la definición anterior, junto con rotaciones y simetrías. Considere una red infinita de cuadrados unitarios. Colorearemos los cuadrados con $k$ colores, de tal manera que para cualquier esquina, los cuadrados en esa esquina estén coloreados de manera diferente (eso significa que no hay cuadrados coloreados con el mismo color). Averigüe el mínimo de $k$.

Sea $ABC$ un triángulo, $G$ su centroide, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio del arco $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$). Se sabe que $MG=R$, donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita. Demostrar que $BG\geq BH$.

Hay 100 boxeadores, cada uno de ellos con diferentes fortalezas, que participan en un torneo. Cualquiera de ellos lucha entre sí sólo una vez. Varios boxeadores forman un complot. En uno de sus combates, esconden una herradura en su guante. Si en una pelea, sólo uno de los boxeadores tiene una herradura escondida, gana la pelea; de lo contrario, el boxeador más fuerte gana. Se sabe que hay tres boxeadores que obtuvieron (estrictamente) más victorias que los tres boxeadores más fuertes. ¿Cuál es el número mínimo de conspiradores?

Encontrar todas las funciones $f: (0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ con las siguientes propiedades: $f(x+1)=f(x)+1$ y $f\left(\frac{1}{f(x)}\right)=\frac{1}{x}$.

Se da una línea $d$ en el plano. Sea $B\in d$ y $A$ otro punto, no en $d$, y tal que $AB$ no es perpendicular a $d$. Sea $\omega$ un círculo variable que toca a $d$ en $B$ y dejando $A$ fuera, y $X$ e $Y$ los puntos en $\omega$ tales que $AX$ e $AY$ son tangentes al círculo. Demostrar que la línea $XY$ pasa por un punto fijo.