Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.

Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ . Demuestre que existen números $t_1$ , $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] son disjuntos dos a dos.

Un entero positivo $n$ se llama $oeirense$ si existen dos enteros positivos $a$ y $b$, no necesariamente distintos, tales que $n=a^2+b^2$. Determine el mayor entero $k$ tal que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n$, $n+1$, $\dots$, $n+k$ son oeirenses.

En un tablero de $9\times9$, los cuadrados están etiquetados del 11 al 99, con el primer dígito indicando la fila y el segundo dígito indicando la columna. Se desea pintar los cuadrados de blanco o negro de manera que cada cuadrado negro sea adyacente a lo sumo a otro cuadrado negro y cada cuadrado blanco sea adyacente a lo sumo a otro cuadrado blanco. Dos cuadrados son adyacentes si comparten un lado común. ¿De cuántas maneras se puede pintar el tablero de manera que los cuadrados $44$ y $49$ sean ambos negros?

En la figura, los triángulos $ABC$ y $CDE$ son equiláteros, con lados de longitud $1$ y $4$, respectivamente. Además, $B$, $C$ y $D$ son colineales y $F$ y $G$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de $AF$ y $BE$. Determine el área del triángulo sombreado $BPG$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Una línea $r$ que pasa por $I$ interseca las circunferencias circunscritas de los triángulos $AIB$ y $AIC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que el circuncentro del triángulo $APQ$ está en la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Para cada conjunto de cinco enteros $S= \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\} $, sea $P_S$ el producto de todas las diferencias entre dos de los elementos, es decir\n$$P_S=(a_5-a_1)(a_4-a_1)(a_3-a_1)(a_2-a_1)(a_5-a_2)(a_4-a_2)(a_3-a_2)(a_5-a_3)(a_4-a_3)(a_5-a_4)$$\nDetermine el mayor entero $n$ tal que dado cualquier conjunto $S$ de cinco enteros, $n$ divide a $P_S$.

Determine todas las progresiones geométricas tales que el producto de los tres primeros términos es $64$ y la suma de ellos es $14$.

Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación $2x^2-y^{14}=1$.

Se dibujan triángulos equiláteros $ACB'$ y $BDC'$ en las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$ de modo que $B$ y $B'$ estén en el mismo lado de $AC$, y $C$ y $C'$ estén en los mismos lados de $BD$. Encuentra $\angle BAD + \angle CDA$ si $B'C' = AB+CD$.