Inicialmente, un polinomio no constante $S(x)$ con coeficientes reales está escrito en una pizarra. Siempre que la pizarra contenga un polinomio $P(x)$ , no necesariamente solo, se puede escribir en la pizarra cualquier polinomio de la forma $P(C + x)$ o $C + P(x)$ donde $C$ es una constante real. Además, si la pizarra contiene dos (no necesariamente distintos) polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ , se puede escribir $P(Q(x))$ y $P(x) + Q(x)$ en la pizarra. Ningún polinomio se borra jamás de la pizarra. Dados dos conjuntos de números reales, $A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}$ y $B = \{ b_1, \dots, b_n \}$ , un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales es $(A,B)$ - agradable si $f(A) = B$ , donde $f(A) = \{ f(a_i) : i = 1, 2, \dots, n \}$ . Determine todos los polinomios $S(x)$ que se pueden escribir inicialmente en la pizarra de tal manera que, para cualesquiera dos conjuntos finitos $A$ y $B$ de números reales, con $|A| = |B|$ , se pueda producir un polinomio $(A,B)$ - agradable en un número finito de pasos.

Sea \(n\) un entero positivo. El reino de Zoomtopia es un polígono convexo con lados enteros, perímetro \(6n\) , y simetría rotacional de \(60^\circ\) (es decir, hay un punto \(O\) tal que una rotación de \(60^\circ\) alrededor de \(O\) mapea el polígono a sí mismo). A la luz de la pandemia, el gobierno de Zoomtopia desea reubicar a sus \(3n^2+3n+1\) ciudadanos en \(3n^2+3n+1\) puntos en el reino de modo que cada dos ciudadanos tengan una distancia de al menos \(1\) para un distanciamiento social adecuado. Demuestre que esto es posible. (Se asume que el reino contiene su frontera).

Considere un entero \(n \ge 2\) y escriba los números \(1, 2, \ldots, n\) en una pizarra. Un movimiento consiste en borrar dos números \(a\) y \(b\) , luego escribir los números \(a+b\) y \(\vert a-b \vert\) en la pizarra, y luego eliminar repeticiones (por ejemplo, si la pizarra contenía los números \(2, 5, 7, 8\) , entonces uno podría elegir los números \(a = 5\) y \(b = 7\) , obteniendo la pizarra con los números \(2, 8, 12\) ) . Para todos los enteros \(n \ge 2\) , determine si es posible quedar con exactamente dos números en la pizarra después de un número finito de movimientos.

Un número de $17$ trabajadores están de pie en una fila. Cada grupo contiguo de al menos $2$ trabajadores es una $\textit{brigada}$ . El jefe quiere asignar a cada brigada un líder (que es un miembro de la brigada) de modo que el número de asignaciones de cada trabajador sea divisible por $4$ . Demuestre que el número de tales formas de asignar los líderes es divisible por $17$ .

Xenia y Sergey juegan el siguiente juego. Xenia piensa en un entero positivo $N$ que no excede $5000$ . Luego fija $20$ enteros positivos distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ tal que, para cada $k = 1,2,\cdots,20$ , los números $N$ y $a_k$ son congruentes módulo $k$ . En un movimiento, Sergey le dice a Xenia un conjunto $S$ de enteros positivos que no exceden $20$ , y ella le devuelve el conjunto $\{a_k : k \in S\}$ sin deletrear qué número corresponde a qué índice. ¿Cuántos movimientos necesita Sergey para determinar con seguridad el número en el que pensó Xenia?

Sean $T_1, T_2, T_3, T_4$ puntos colineales distintos por pares tales que $T_2$ se encuentra entre $T_1$ y $T_3$ , y $T_3$ se encuentra entre $T_2$ y $T_4$ . Sea $\omega_1$ un círculo que pasa por $T_1$ y $T_4$ ; sea $\omega_2$ el círculo que pasa por $T_2$ y es internamente tangente a $\omega_1$ en $T_1$ ; sea $\omega_3$ el círculo que pasa por $T_3$ y es externamente tangente a $\omega_2$ en $T_2$ ; y sea $\omega_4$ el círculo que pasa por $T_4$ y es externamente tangente a $\omega_3$ en $T_3$ . Una recta cruza $\omega_1$ en $P$ y $W$ , $\omega_2$ en $Q$ y $R$ , $\omega_3$ en $S$ y $T$ , y $\omega_4$ en $U$ y $V$ , el orden de estos puntos a lo largo de la recta siendo $P,Q,R,S,T,U,V,W$ . Demuestre que $PQ + TU = RS + VW$

Sea $p$ un número primo. Demuestre que existe un número primo $q$ tal que para todo entero $n$ , el número $n^p-p$ no es divisible por $q$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$, cuyo incentro es $I$. Sea $P$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo $AIB$ que se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $CA$ y $CB$ se encuentran con $AB$ en $D$ y $E$, respectivamente. La recta que pasa por $P$ paralela a $AB$ se encuentra con $CA$ y $CB$ en $F$ y $G$, respectivamente. Pruebe que las rectas $DF$ y $EG$ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Sean $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$, $\Gamma_4$ círculos distintos tales que $\Gamma_1$, $\Gamma_3$ son externamente tangentes en $P$, y $\Gamma_2$, $\Gamma_4$ son externamente tangentes en el mismo punto $P$. Suponga que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$; $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$; $\Gamma_3$ y $\Gamma_4$; $\Gamma_4$ y $\Gamma_1$ se encuentran en $A$, $B$, $C$, $D$, respectivamente, y que todos estos puntos son diferentes de $P$. Pruebe que \[\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^2}{PD^2}.\]

Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en su interior. Denote por $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Suponga que \[AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2.\] Denote por $I_A$, $I_B$, $I_C$ los excentros del triángulo $ABC$. Pruebe que $P$ es el circuncentro del triángulo $I_AI_BI_C$.