Se dan rectángulos congruentes con lados $m(cm)$ y $n(cm)$ ( $m, n$ enteros positivos). Caracterizar los rectángulos que se pueden construir a partir de estos rectángulos (a la manera de un rompecabezas). (El número de rectángulos no está acotado.)

En un tablero de ajedrez ( $8\times 8$ casillas con lados de longitud $1$ ) se eliminan dos casillas de esquinas diagonalmente opuestas. ¿Se puede ahora cubrir el tablero con rectángulos no superpuestos con lados de longitudes $1$ y $2$ ?

Se da un número finito de segmentos paralelos en el plano con la propiedad de que para cada tres de los segmentos existe una línea que intersecta cada uno de ellos. Demuestre que existe una línea que intersecta todos los segmentos dados.

$(a)$ Demostrar que para $a, b, c, d \in\mathbb{R}, m \in [1,+\infty)$ con $am + b =-cm + d = m$ , $\displaystyle (i)\sqrt{a^2 + b^2}+\sqrt{c^2 + d^2}+\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\ge \frac{4m^2}{1+m^2},\text{ and}$ $\displaystyle (ii) 2 \le \frac{4m^2}{1+m^2} < 4.$ $(b)$ Expresar $a, b, c, d$ como funciones de $m$ para que haya igualdad en $(i).$

Si $p$ es un número primo mayor que $2$ y $a, b, c$ son enteros no divisibles por $p$ , demostrar que la ecuación $ax^2 + by^2 = pz + c$ tiene una solución entera.

Se da un rectángulo $ABCD$ cuyos lados tienen longitudes $3$ y $2n$ , donde $n$ es un número natural. Denotemos por $U(n)$ el número de formas en que se puede cortar el rectángulo en rectángulos de lados $1$ y $2$ . $(a)$ Demostrar que $\displaystyle U(n + 1)+U(n -1) = 4U(n);$ $(b)$ Demostrar que $\displaystyle U(n) =\frac{1}{2\sqrt{3}}[(\sqrt{3} + 1)(2 +\sqrt{3})^n + (\sqrt{3} - 1)(2 -\sqrt{3})^n].$

Si $n_1, n_2, \cdots, n_k$ son números naturales y $n_1+n_2+\cdots+n_k = n$ , demostrar que $\displaystyle max(n_1n_2\cdots n_k)=(t + 1)^rt^{k-r},$ donde $t =\left[\frac{n}{k}\right]$ y $r$ es el resto de $n$ al dividirlo por $k$ ; i.e., $n = tk + r, 0 \le r \le k- 1$.

Encontrar los valores de $n\in \mathbb{N}$ para los cuales la fracción $\frac{3^n-2}{2^n-3}$ es reducible.

Considere una secuencia de círculos $K_1,K_2,K_3,K_4, \ldots$ de radios $r_1, r_2, r_3, r_4, \ldots$ , respectivamente, situados dentro de un triángulo $ABC$ . El círculo $K_1$ es tangente a $AB$ y $AC$ ; $K_2$ es tangente a $K_1$ , $BA$ , y $BC$ ; $K_3$ es tangente a $K_2$ , $CA$ , y $CB$ ; $K_4$ es tangente a $K_3$ , $AB$ , y $AC$ ; etc. (a) Demuestra la relación \[r_1 \cot \frac 12 A+ 2 \sqrt{r_1r_2} + r_2 \cot \frac 12 B = r \left(\cot \frac 12 A + \cot \frac 12 B \right) \] donde $r$ es el radio del incírculo del triángulo $ABC$ . Deduzca la existencia de un $t_1$ tal que \[r_1=r \cot \frac 12 B \cot \frac 12 C \sin^2 t_1\] (b) Demuestra que la secuencia de círculos $K_1,K_2, \ldots $ es periódica.

Sean $A,B,C$ puntos en los lados $B_1C_1, C_1A_1,A_1B_1$ de un triángulo $A_1B_1C_1$ tales que $A_1A,B_1B,C_1C$ son las bisectrices de los ángulos del triángulo. Tenemos que $AC = BC$ y $A_1C_1 \neq B_1C_1$. $(a)$ Demuestra que $C_1$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. $(b)$ Suponga que $\angle BAC_1 =\frac{\pi}{6};$ encuentre la forma del triángulo $ABC$.