Las longitudes de los lados de un rectángulo son enteros impares. Demuestra que no existe un punto dentro de ese rectángulo que tenga distancias enteras a cada uno de sus cuatro vértices.

Dado $n>4$, demuestra que todo cuadrilátero cíclico puede ser diseccionado en $n$ cuadriláteros cíclicos.

Encuentra todas las soluciones reales positivas para:\n\n\begin{eqnarray*}\n(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\le& 0 \\\n(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\le& 0 \\\n(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\le& 0 \\\n(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\le & 0 \\\n(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\le& 0 \\\n\end{eqnarray*}

Consideramos $n$ variables reales $x_i(1 \le i \le n)$ , donde $n$ es un entero y $n \ge 2$ . El producto de estas variables será denotado por $p$ , su suma por $s$ , y la suma de sus cuadrados por $S$ . Además, sea $\alpha$ una constante positiva. Ahora estudiamos la desigualdad $ps \le S\alpha$ . Demuestra que se cumple para cada $n$ - tupla $(x_i)$ si y solo si $\alpha=\frac{n+1}{2}$

Las diagonales de un $18$ - gono convexo están coloreadas en $5$ colores diferentes, cada color aparece en un número igual de diagonales. Las diagonales de un color están numeradas $1, 2,\cdots$ . Se elige aleatoriamente una quinta parte de todas las diagonales. Encuentra el número de posibilidades para las cuales entre las diagonales elegidas existen exactamente $n$ pares de diagonales del mismo color y con índices fijos $i, j$ .

¿Existe un número de $2n$ dígitos $\overline{a_{2n}a_{2n-1}\cdots a_1}$ (para un $n$ arbitrario) para el cual se cumple la siguiente igualdad: \[\overline{a_{2n}\cdots a_1}= (\overline{a_n \cdots a_1})^2?\]

Demuestra que para cualquier $n \not \equiv 0 \pmod{10}$ existe un múltiplo de $n$ que no contiene el dígito $0$ en su expansión decimal.

Demuestra la siguiente afirmación: Las cuatro alturas de un tetraedro $ABCD$ se intersecan en un punto si y solo si \[AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2.\]

Sean $n_1, n_2$ enteros positivos. Considere en un plano $E$ dos conjuntos disjuntos de puntos $M_1$ y $M_2$ que constan de $2n_1$ y $2n_2$ puntos, respectivamente, y tales que no hay tres puntos de la unión $M_1 \cup M_2$ que sean colineales. Demuestre que existe una línea recta $g$ con la siguiente propiedad: Cada uno de los dos semiplanos determinados por $g$ en $E$ ( $g$ no está incluido en ninguno) contiene exactamente la mitad de los puntos de $M_1$ y exactamente la mitad de los puntos de $M_2.$

Sea $S$ un subconjunto de los números reales con las siguientes propiedades: $(i)$ Si $x \in S$ e $y \in S$ , entonces $x - y \in S$ ; $(ii)$ Si $x \in S$ e $y \in S$ , entonces $xy \in S$ ; $(iii)$ $S$ contiene un número excepcional $x'$ tal que no hay un número $y$ en $S$ que satisfaga $x'y + x' + y = 0$ ; $(iv)$ Si $x \in S$ y $x \neq x'$ , existe un número $y$ en $S$ tal que $xy+x+y = 0$ . Demuestre que $(a)$ $S$ tiene más de un número en él; $(b)$ $x' \neq -1$ conduce a una contradicción; $(c)$ $x \in S$ y $x \neq 0$ implica $1/x \in S$ .