Tenemos $p$ jugadores que participan en un torneo, cada jugador juega contra todos los demás jugadores exactamente una vez. Se anota un punto por cada victoria, y no hay empates. Se da una secuencia de enteros no negativos $s_1 \le s_2 \le s_3 \le\cdots\le s_p$. Demuestre que es posible que esta secuencia sea un conjunto de puntuaciones finales de los jugadores en el torneo si y sólo si\n\[(i)\displaystyle\sum_{i=1}^{p} s_i =\frac{1}{2}p(p-1)\]\n\[\text{y}\]\n\[(ii)\text{ para todo }k < p,\displaystyle\sum_{i=1}^{k} s_i \ge \frac{1}{2} k(k - 1).\]

Un cilindro circular recto sólido con altura $h$ y radio de base $r$ tiene un hemisferio sólido de radio $r$ que descansa sobre él. El centro del hemisferio $O$ está en el eje del cilindro. Sea $P$ cualquier punto en la superficie del hemisferio y $Q$ el punto en el círculo base del cilindro que está más alejado de $P$ (midiendo a lo largo de la superficie del sólido combinado). Se estira una cuerda sobre la superficie de $P$ a $Q$ para que sea lo más corta posible. Demuestre que si la cuerda no está en un plano, la línea recta $PO$ cuando se produce corta la superficie curva del cilindro.

Considere el conjunto $S$ de todos los diferentes enteros positivos impares que no son múltiplos de $5$ y que son menores que $30m$, donde $m$ es un entero positivo. ¿Cuál es el entero $k$ más pequeño tal que en cualquier subconjunto de $k$ enteros de $S$ debe haber dos enteros uno de los cuales divide al otro? Demuestra tu resultado.

Dados cinco puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales, demostrar que se pueden encontrar al menos dos triángulos obtusángulos con vértices en los puntos dados. Construir un ejemplo en el que haya exactamente dos de esos triángulos.

Dados los números naturales $k$ y $n, k \le n, n \ge 3,$ encontrar el conjunto de todos los valores en el intervalo $(0, \pi)$ que el $k^{th}-$ más grande entre los ángulos interiores de un $n$ - gon convexo puede tomar.

Se dan $3n$ puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{3n}$ en el plano, no tres de ellos colineales. Demostrar que se pueden construir $n$ triángulos disjuntos con vértices en los puntos $A_i.$

$f$ y $g$ son funciones con valores reales definidas en la recta real. Para todos $x$ e $y, f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$. $f$ no es idénticamente cero y $|f(x)|\le1$ para todo $x$. Demostrar que $|g(x)|\le1$ para todo $x$.

Demostrar la desigualdad \[(n + 1)\cos\frac{\pi}{n + 1}- n\cos\frac{\pi}{n}> 1\] para todos los números naturales $n \ge 2.$

Demuestra que $(2m)!(2n)!$ es un múltiplo de $m!n!(m+n)!$ para cualquier entero no negativo $m$ y $n$ .

$(a)$ Un plano $\pi$ pasa por el vértice $O$ del tetraedro regular $OPQR$ . Definimos $p, q, r$ como las distancias con signo de $P,Q,R$ desde $\pi$ medidas a lo largo de una normal dirigida a $\pi$ . Demuestra que \[p^2 + q^2 + r^2 + (q - r)^2 + (r - p)^2 + (p - q)^2 = 2a^2,\] donde $a$ es la longitud de una arista de un tetraedro. $(b)$ Dados cuatro planos paralelos no todos coincidentes, demuestre que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano. Nota: La parte $(b)$ es el Problema 6 de la IMO 1972