Dada una esfera $K$ , determine el conjunto de todos los puntos $A$ que son vértices de algunos paralelogramos $ABCD$ que satisfacen $AC \le BD$ y cuya diagonal completa $BD$ está contenida en $K$ .

Se da un círculo $k = (S, r)$ y un hexágono $AA'BB'CC'$ inscrito en él. Las longitudes de los lados del hexágono satisfacen $AA' = A'B, BB' = B'C, CC' = C'A$ . Demuestra que el área $P$ del triángulo $ABC$ no es mayor que el área $P'$ del triángulo $A'B'C'$. ¿Cuándo se cumple $P = P'$?

Sea 'm' el número más pequeño y 'M' el número más grande entre $ a_1 ,a_2 ,\ldots,a_n$ que satisfacen $ a_1 +a_2 +...+a_n =0$ . Demuestra que \[ a_1^2 +\cdots +a_n^2 \le-nmM\]

Llamaremos a un par de enteros positivos $(n, k)$ con $k > 1$ una $pareja$ $encantadora$ si existe una tabla $nxn$ que consiste en unos y ceros con las siguientes propiedades:\n• En cada fila hay exactamente $k$ unos.\n• Para cada dos filas hay exactamente una columna tal que en ambas intersecciones de esa columna con las filas mencionadas, se escribe el número uno.\nResuelva los siguientes subproblemas:\na) Sea $d \neq 1$ un divisor de $n$ . Determine todos los restos que $d$ puede dar cuando se divide por $6$ .\nb) Demuestre que existen infinitas parejas encantadoras.

Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ existen $n$ números racionales positivos distintos con la suma de sus cuadrados igual a $n$ .

Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Sean $P$ , $Q$ puntos en los círculos $C_{1}$ , $C_{2}$ respectivamente, tales que $|AP| = |AQ|$ . El segmento $PQ$ interseca a los círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ en los puntos $M$ , $N$ respectivamente. Sea $C$ el centro del arco $BP$ de $C_{1}$ que no contiene el punto $A$ y sea $D$ el centro del arco $BQ$ de $C_{2}$ que no contiene el punto $A$ . Sea $E$ la intersección de $CM$ y $DN$ . Demuestre que $AE$ es perpendicular a $CD$ .

Un saltamontes está saltando a lo largo de la recta numérica. Inicialmente está situado en cero. En el paso $k$ - ésimo, la longitud de su salto es $k$ .\na) Si la longitud del salto es par, entonces salta hacia la izquierda, de lo contrario salta hacia la derecha (por ejemplo, primero salta un paso a la derecha, luego dos pasos a la izquierda, luego tres pasos a la derecha, luego cuatro pasos a la izquierda...). ¿Visitará todos los enteros al menos una vez?\nb) Si la longitud del salto es divisible por tres, entonces salta hacia la izquierda, de lo contrario salta hacia la derecha (por ejemplo, primero salta un paso a la derecha, luego dos pasos a la derecha, luego tres pasos a la izquierda, luego cuatro pasos a la derecha...). ¿Visitará todos los enteros al menos una vez?

Sean $C_{1}$ , $C_{2}$ círculos que se intersecan en $X$ , $Y$ . Sean $A$ , $D$ puntos en $C_{1}$ y $B$ , $C$ en $C_2$ tales que $A$ , $X$ , $C$ son colineales y $D$ , $X$ , $B$ son colineales. La tangente al círculo $C_{1}$ en $D$ interseca a $BC$ y la tangente a $C_{2}$ en $B$ en $P$ , $R$ respectivamente. La tangente a $C_2$ en $C$ interseca a $AD$ y la tangente a $C_1$ en $A$ , en $Q$ , $S$ respectivamente. Sea $W$ la intersección de $AD$ con la tangente a $C_{2}$ en $B$ y $Z$ la intersección de $BC$ con la tangente a $C_1$ en $A$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $YWZ$ , $RSY$ y $PQY$ tienen dos puntos en común, o son tangentes en el mismo punto.

Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tales que la igualdad $$f(x + y + yf(x)) = f(x) + f(y) + xf(y)$$ se cumple para todos los números reales $x$ , $y$ .

Para dos enteros positivos $a$ y $b$ , Ivica y Marica juegan el siguiente juego: Dados dos montones de $a$ y $b$ galletas, en cada turno un jugador toma $2n$ galletas de uno de los montones, de las cuales come $n$ y pone $n$ de ellas en el otro montón. El número $n$ es arbitrario en cada movimiento. Los jugadores se turnan alternativamente, comenzando Ivica. El jugador que no puede hacer un movimiento, pierde. Suponiendo que ambos jugadores juegan perfectamente, determine todos los pares de números $(a, b)$ para los cuales Marica tiene una estrategia ganadora.