Existe una secuencia $a_{1}, . . . , a_{2016}$ de enteros positivos, tal que cada suma $$a_{r} + a_{r+1} + . . . + a_{s-1} + a_{s}$$ (con $1 \le r \le s \le 2016$ ) es un número compuesto, pero:\na) $GCD(a_{i}, a_{i+1}) = 1$ para todo $i = 1, 2, . . . , 2015$ ;\nb) $GCD(a_{i}, a_{i+1}) = 1$ para todo $i = 1, 2, . . . , 2015$ y $GCD(a_{i}, a_{i+2}) = 1$ para todo $i = 1, 2, . . . , 2014$ ?\n$GCD(x, y)$ denota el máximo común divisor de $x$ , $y$ .

Encuentra todos los enteros positivos $ k$ con la siguiente propiedad: Existe un entero $ a$ de modo que $ (a+k)^{3}-a^{3}$ es un múltiplo de $ 2007$ .

Un tetraedro se llama un MEMO-tetraedro si todas las seis longitudes de lado son enteros positivos diferentes donde uno de ellos es $ 2$ y uno de ellos es $ 3$ . Sea $ l(T)$ la suma de las longitudes de lado del tetraedro $ T$ . (a) Encuentra todos los enteros positivos $ n$ de modo que exista un MEMO-Tetraedro $ T$ con $ l(T)=n$ . (b) ¿Cuántos MEMO-tetraedros $ T$ no congruentes por pares existen que satisfacen $ l(T)=2007$? Se dice que dos tetraedros no son congruentes si uno no se puede obtener del otro mediante una composición de reflexiones en planos, traslaciones y rotaciones. (No es necesario demostrar que los tetraedros no son degenerados, es decir, que tienen un volumen positivo).

Para un conjunto $ P$ de cinco puntos en el plano, no tres de ellos siendo colineales, sea $ s(P)$ el número de triángulos acutángulos formados por vértices en $ P$ . Encuentra el valor máximo de $ s(P)$ sobre todos esos conjuntos $ P$ .

Sean $ a,b,c,d$ números reales que satisfacen $ \frac{1}{2}\leq a,b,c,d\leq 2$ y $ abcd=1$ . Encuentra el valor máximo de \[ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{d}\right)\left(d+\frac{1}{a}\right).\]

Determina todos los pares $ (x,y)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación \[ x!+y!=x^{y}.\]

Sea $ k$ un círculo y $ k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$ cuatro círculos más pequeños con sus centros $ O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ respectivamente, en $ k$ . Para $ i = 1,2,3,4$ y $ k_{5}= k_{1}$ los círculos $ k_{i}$ y $ k_{i+1}$ se encuentran en $ A_{i}$ y $ B_{i}$ tal que $ A_{i}$ se encuentra en $ k$ . Los puntos $ O_{1},A_{1},O_{2},A_{2},O_{3},A_{3},O_{4},A_{4}$ se encuentran en ese orden en $ k$ y son diferentes por pares. Demuestra que $ B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ es un rectángulo.

Un conjunto de bolas contiene $ n$ bolas que están etiquetadas con los números $ 1,2,3,\ldots,n.$ Se nos dan $ k > 1$ de estos conjuntos. Queremos colorear las bolas con dos colores, negro y blanco de tal manera que (a) las bolas etiquetadas con el mismo número sean del mismo color, (b) cualquier subconjunto de $ k+1$ bolas con etiquetas (no necesariamente diferentes) $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{k+1}$ satisfaciendo la condición $ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}= a_{k+1}$ , contiene al menos una bola de cada color. Encuentra, dependiendo de $ k$ el mayor número posible $ n$ que admita tal coloración.

Sean $ a,b,c,d$ números reales positivos con $ a+b+c+d = 4$ . Demuestra que \[ a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\leq 4.\]

Demuestre que el polinomio $x^4+\lambda x^3+\mu x^2+\nu x+1$ no tiene raíces reales si $\lambda, \mu , \nu $ son números reales que satisfacen \[|\lambda |+|\mu |+|\nu |\le \sqrt{2} \]