Un conjunto $M$ está formado por $\binom{2n}{n}$ hombres, $n=1,2,\ldots$. Demuestre que podemos elegir un subconjunto $P$ del conjunto $M$ que consta de $n+1$ hombres tal que se satisfaga una de las siguientes condiciones: $(1)$ cada miembro del conjunto $P$ conoce a todos los demás miembros del conjunto $P$ ; $(2)$ ningún miembro del conjunto $P$ conoce a ningún otro miembro del conjunto $P$.

Denotemos por $x_n(p)$ la multiplicidad del primo $p$ en la representación canónica del número $n!$ como producto de primos. Demuestre que $\frac{x_n(p)}{n}<\frac{1}{p-1}$ y $\lim_{n \to \infty}\frac{x_n(p)}{n}=\frac{1}{p-1}$.

Demuestre la desigualdad \[ \frac{a_1+ a_3}{a_1 + a_2} + \frac{a_2 + a_4}{a_2 + a_3} + \frac{a_3 + a_1}{a_3 + a_4} + \frac{a_4 + a_2}{a_4 + a_1} \geq 4, \] donde $a_i > 0, i = 1, 2, 3, 4.$

Suponga que los lados $AB$ y $DC$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ no son paralelos. En los lados $BC$ y $AD$, se eligen pares de puntos $(M,N)$ y $(K,L)$ tales que $BM=MN=NC$ y $AK=KL=LD$. Demuestre que las áreas de los triángulos $OKM$ y $OLN$ son diferentes, donde $O$ es el punto de intersección de $AB$ y $CD$.

Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Sea $P_i$ el poliedro obtenido de $P_1$ por una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$. Demuestre que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.

Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Sea $P_i$ el poliedro obtenido de $P_1$ por una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$. Demuestre que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se intersecan en un punto $O$. Encuentra todos los ángulos de este cuadrilátero si $\measuredangle OBA=30^{\circ},\measuredangle OCB=45^{\circ},\measuredangle ODC=45^{\circ}$ , y $\measuredangle OAD=30^{\circ}$.

Se da una sucesión de números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ tal que $x_{i+1}=x_i+\frac{1}{30000}\sqrt{1-x_i^2},\ i=1,2,\ldots ,$ y $x_1=0$. ¿Puede ser $n$ igual a $50000$ si $x_n<1$?

Se escriben números naturales del $1$ al $99$ (no necesariamente distintos) en $99$ tarjetas. Se sabe que la suma de los números en cualquier subconjunto de tarjetas (incluido el conjunto de todas las tarjetas) no es divisible por $100$. Demuestre que todas las tarjetas contienen el mismo número.

Una línea quebrada $A_1A_2 \ldots A_n$ se dibuja en un cuadrado de $50 \times 50$, de modo que la distancia desde cualquier punto del cuadrado a la línea quebrada es menor que $1$ . Demuestre que su longitud total es mayor que $1248.$