Sean $m$ y $n$ enteros mayores que $1$ , y sea $\nu (n)$ el número de primos menores o iguales que $n$ . Demuestre que si la ecuación $\frac{n}{\nu(n)}=m$ tiene una solución, entonces también la tiene la ecuación $\frac{n}{\nu(n)}=m-1$.

Sea $ A = (a_{ij})$ , donde $ i,j = 1,2,\ldots,n$ , una matriz cuadrada con todos los $ a_{ij}$ enteros no negativos. Para cada $ i,j$ tal que $ a_{ij} = 0$ , la suma de los elementos en la fila $ i$ -ésima y la columna $ j$ -ésima es al menos $ n$ . Demuestre que la suma de todos los elementos en la matriz es al menos $ \frac {n^2}{2}$.

Demuestre que para números reales no negativos $a,b$ y enteros $n\ge 2$ , \[\frac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sean $L_i,\ i=1,2,3$, segmentos de línea en los lados de un triángulo equilátero, un segmento en cada lado, con longitudes $l_i,\ i=1,2,3$. Por $L_i^{\ast}$ denotamos el segmento de longitud $l_i$ con su punto medio en el punto medio del lado correspondiente del triángulo. Sea $M(L)$ el conjunto de puntos en el plano cuyas proyecciones ortogonales en los lados del triángulo están en $L_1,L_2$ , y $L_3$ , respectivamente; $M(L^{\ast})$ se define correspondientemente. Demuestre que si $l_1\ge l_2+l_3$ , tenemos que el área de $M(L)$ es menor o igual que el área de $M(L^{\ast})$.

Considera el conjunto de puntos de la cuadrícula $(m,n)$ en el plano, $m,n$ enteros. Sea $\sigma$ un subconjunto finito y define \[S(\sigma)=\sum_{(m,n)\in\sigma}(100-|m|-|n|) ] Encuentra el máximo de $S$ , tomado sobre el conjunto de todos los subconjuntos $\sigma$ .

Se dan dos triángulos equiláteros congruentes $ABC$ y $A'B'C'$ en el plano. Demuestra que los puntos medios de los segmentos $AA',BB', CC'$ son colineales o forman un triángulo equilátero.

Sean $A,B,C$ tres puntos con coordenadas enteras en el plano y $K$ un círculo con radio $R$ pasando por $A,B,C$ . Demuestra que $AB\cdot BC\cdot CA\ge 2R$ , y si el centro de $K$ está en el origen de las coordenadas, demuestra que $AB\cdot BC\cdot CA\ge 4R$ .

Sea $S$ un círculo, y $\alpha =\{A_1,\ldots ,A_n\}$ una familia de arcos abiertos en $S$ . Sea $N(\alpha )=n$ denota el número de elementos en $\alpha$ . Decimos que $\alpha$ es una cobertura de $S$ si $\bigcup_{k=1}^n A_k\supset S$ . Sean $\alpha=\{A_1,\ldots ,A_n\}$ y $\beta =\{B_1,\ldots ,B_m\}$ dos coberturas de $S$ . Demuestra que podemos elegir de la familia de todos los conjuntos $A_i\cap B_j,\ i=1,2,\ldots ,n,\ j=1, 2,\ldots ,m,$ una cobertura $\gamma$ de $S$ tal que $N(\gamma )\le N(\alpha)+N(\beta)$.

La matriz \[\nA=\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \n\end{pmatrix}\]\n\nsatisface la desigualdad $\sum_{j=1}^n |a_{j1}x_1 + \cdots+ a_{jn}x_n| \leq M$ para cada elección de números $x_i$ iguales a $\pm 1$ . Demuestra que \[|a_{11} + a_{22} + \cdots+ a_{nn}| \leq M.\]

Demostrar que podemos encontrar un conjunto infinito de enteros positivos de la forma $2^n-3$ (donde $n$ es un entero positivo) cada par de los cuales son relativamente primos.