Sea $T_k = k - 1$ para $k = 1, 2, 3,4$ y \[T_{2k-1} = T_{2k-2} + 2^{k-2}, T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k \qquad (k \geq 3).\] Demostrar que para todo $k$ , \[1 + T_{2n-1} = \left[ \frac{12}{7}2^{n-1} \right] \quad \text{y} \quad 1 + T_{2n} = \left[ \frac{17}{7}2^{n-1} \right],\] donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$

Se da una cuadrícula cuadrada de $2n\times 2n$. Consideremos todos los posibles caminos a lo largo de las líneas de la cuadrícula, que van desde el centro de la cuadrícula hasta el borde, tales que \n(1) ningún punto de la cuadrícula se alcanza más de una vez, y \n(2) cada uno de los cuadrados homotéticos a la cuadrícula que tiene su centro en el centro de la cuadrícula se pasa sólo una vez. \n(a) Demostrar que el número de todos esos caminos es igual a $4\prod_{i=2}^n(16i-9)$. \n(b) Encontrar el número de pares de tales caminos que dividen la cuadrícula en dos figuras congruentes. \n(c) ¿Cuántas cuádruplas de tales caminos hay que dividen la cuadrícula en cuatro partes congruentes?

Dos semirrectas $a$ y $b$, con el extremo común $O$, forman un ángulo agudo $\alpha$. Sean $A$ en $a$ y $B$ en $b$ puntos tales que $OA=OB$, y sea $b'$ la recta que pasa por $A$ paralela a $b$. Sea $\beta$ el círculo con centro $B$ y radio $BO$. Construimos una secuencia de semirrectas $c_1,c_2,c_3,\ldots$, todas dentro del ángulo $\alpha$, de la siguiente manera: \n(i) $c_i$ se da arbitrariamente; \n(ii) para cada número natural $k$, el círculo $\beta$ intercepta en $c_k$ un segmento que es de la misma longitud que el segmento cortado en $b'$ por $a$ y $c_{k+1}$. Demostrar que el ángulo determinado por las rectas $c_k$ y $b$ tiene un límite cuando $k$ tiende a infinito y encontrar ese límite.

Determinar si existen números reales distintos $a, b, c, t$ para los cuales: \n(i) la ecuación $ax^2 + btx + c = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_1, x_2,$ \n(ii) la ecuación $bx^2 + ctx + a = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_2, x_3,$ \n(iii) la ecuación $cx^2 + atx + b = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_3, x_1.$

Demuestre que el sistema de ecuaciones \[2yz+x-y-z=a,\ 2xz-x+y-z=a,\ 2xy-x-y+z=a, \] $a$ siendo un parámetro, no puede tener cinco soluciones distintas. ¿Para qué valores de $a$ este sistema tiene cuatro soluciones enteras distintas?

Se da un rombo con su incírculo. En cada vértice del rombo se construye un círculo que toca el incírculo y dos lados del rombo. Estos círculos tienen radios $r_1,r_2$ , mientras que el incírculo tiene radio $r$ . Dado que $r_1$ y $r_2$ son números naturales y que $r_1r_2=r$ , encuentre $r_1,r_2,$ y $r$ .

Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son acutángulos. Tome un punto $X$ en el interior del segmento $AB$ , y similarmente $Y$ en $BC, Z$ en $CD$ y $T$ en $AD$ . a.) Si $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$ , entonces demuestre que ninguno de los caminos cerrados $XYZTX$ tiene longitud mínima; b.) Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$ , entonces hay infinitos caminos más cortos $XYZTX$ , cada uno con longitud $2AC\sin k$ , donde $2k=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$ .

Sea $n \geq 2$ un número natural. Encuentra una forma de asignar números naturales a los vértices de un $2n$ -ágono regular de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones: (1) solo se utilizan los dígitos $1$ y $2$; (2) cada número consta de exactamente $n$ dígitos; (3) se asignan números diferentes a diferentes vértices; (4) los números asignados a dos vértices vecinos difieren en exactamente un dígito.

Se da un conjunto infinito de rectángulos en el plano de coordenadas cartesianas. Los vértices de cada uno de estos rectángulos tienen coordenadas $(0, 0), (p, 0), (p, q), (0, q)$ para algunos enteros positivos $p, q$ . Demuestra que deben existir dos entre ellos, uno de los cuales está completamente contenido en el otro.

Sean $ABC,AA_1A_2,BB_1B_2, CC_1C_2$ cuatro triángulos equiláteros en el plano que satisfacen sólo que todos están orientados positivamente (es decir, en el sentido contrario a las agujas del reloj). Denotemos los puntos medios de los segmentos $A_2B_1,B_2C_1, C_2A_1$ por $P,Q,R$ en este orden. Demuestre que el triángulo $PQR$ es equilátero.