Sean $A, B,$ y $C$ los ángulos de un triángulo. Si $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2$, demuestre que el triángulo es rectángulo.

Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuación \[x^2+y^2=(x-y)^3.\].

Se nos da un tablero de $n \times n$, donde $n$ es un número impar. En cada celda del tablero se escribe $+1$ o $-1$. Sean $a_k$ y $b_k$ los productos de los números en la $k^{th}$ fila y en la $k^{th}$ columna respectivamente. Demuestre que la suma $a_1 +a_2 +\cdots+a_n +b_1 +b_2 +\cdots+b_n$ no puede ser igual a cero.

Sea \[ E_n=(a_1-a_2)(a_1-a_3)\ldots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\ldots(a_2-a_n)+\ldots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\ldots(a_n-a_{n-1}). \] Sea $S_n$ la proposición que $E_n\ge0$ para todo $a_i$ real. Demuestre que $S_n$ es verdadera para $n=3$ y $5$, pero para ningún otro $n>2$.

Sea $M$ el circuncentro de un triángulo $ABC.$ La línea que pasa por $M$ perpendicular a $CM$ se encuentra con las líneas $CA$ y $CB$ en $Q$ y $P,$ respectivamente. Demuestra que \[\frac{\overline{CP}}{\overline{CM}} \cdot \frac{\overline{CQ}}{\overline{CM}}\cdot \frac{\overline{AB}}{\overline{PQ}}= 2.\]

En un triángulo $P_1P_2P_3$ sea $P_iQ_i$ la altitud desde $P_i$ para $i = 1, 2,3$ ( $Q_i$ siendo el pie de la altitud). El círculo con diámetro $P_iQ_i$ se encuentra con los dos lados correspondientes en dos puntos diferentes de $P_i.$ Denota la longitud del segmento cuyos puntos finales son estos dos puntos por $l_i.$ Demuestra que $l_1 = l_2 = l_3.$

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números positivos, $m_g = \sqrt[n]{(a_1a_2 \cdots a_n)}$ su media geométrica, y $m_a = \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)}{n}$ su media aritmética. Demuestra que \[(1 + m_g)^n \leq (1 + a_1) \cdots(1 + a_n) \leq (1 + m_a)^n.\]

Se nos dan dos círculos mutuamente tangentes en el plano, con radios $r_1, r_2$. Una línea interseca estos círculos en cuatro puntos, determinando tres segmentos de igual longitud. Encuentra esta longitud como una función de $r_1$ y $r_2$ y la condición para la solubilidad del problema.

Sabiendo que el sistema \[x + y + z = 3,\] \[x^3 + y^3 + z^3 = 15,\] \[x^4 + y^4 + z^4 = 35,\] tiene una solución real $x, y, z$ para la cual $x^2 + y^2 + z^2 < 10$, encuentre el valor de $x^5 + y^5 + z^5$ para esa solución.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales se intersecan en $O$ con un ángulo $\theta$. Sea $OA = a, OB = b, OC = c$ , y $OD = d, c > a > 0$, y $d > b > 0.$ Demuestra que si existe un cono circular recto con vértice $V$, con las propiedades: (1) su eje pasa por $O$, y (2) su superficie curva pasa por $A,B,C$ y $D,$ entonces \[OV^2=\frac{d^2b^2(c + a)^2 - c^2a^2(d + b)^2}{ca(d - b)^2 - db(c - a)^2}.\] Demuestra también que si $\frac{c+a}{d+b}$ está entre $\frac{ca}{db}$ y $\sqrt{\frac{ca}{db}},$ y $\frac{c-a}{d-b}=\frac{ca}{db},$ entonces para una elección adecuada de $\theta$, existe un cono circular recto con las propiedades (1) y (2).