Observa que $8^3 - 7^3 = 169 = 13^2$ y $13 = 2^2 + 3^2.$ Demuestra que si la diferencia entre dos cubos consecutivos es un cuadrado, entonces es el cuadrado de la suma de dos cuadrados consecutivos.

Un marciano, un venusiano y un humano residen en Plutón. Un día tienen la siguiente conversación: Marciano: He pasado $1/12$ de mi vida en Plutón. Humano: Yo también. Venusiano: Yo también. Marciano: Pero el venusiano y yo hemos pasado mucho más tiempo aquí que tú, humano. Humano: Es verdad. Venusiano: Sin embargo, el venusiano y yo tenemos la misma edad. Venusiano: Sí, he vivido $300$ años terrestres. Marciano: El venusiano y yo hemos estado en Plutón durante los últimos $13$ años. Se sabe que el humano y el marciano juntos han vivido $104$ años terrestres. Encuentra las edades del marciano, el venusiano y el humano.\n ***: Nota que los números en el problema no están necesariamente en base $10.$

Se da un sistema de $n$ números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tal que \[x_1 = \log_{x_{n-1}} x_n, x_2 = \log_{x_{n}} x_1, \ldots, x_n = \log_{x_{n-2}} x_{n-1}.\] Demuestra que $\prod_{k=1}^n x_k =1.$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales el número $1!+2!+3!+\cdots+n!$ es una potencia perfecta de un entero.

¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar tres caballos en un tablero de ajedrez de forma que el número de casillas atacadas sea máximo?

La base de un prisma inclinado es un triángulo $ABC$ . La proyección perpendicular de $B_1$ , uno de los vértices superiores, es el punto medio de $BC$ . El ángulo diedro entre las caras laterales a través de $BC$ y $AB$ es $\alpha$ , y las aristas laterales del prisma forman un ángulo $\beta$ con la base. Si $r_1, r_2, r_3$ son exradios de una sección perpendicular del prisma, asumiendo que en $ABC, \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1, \angle A < \angle B < \angle C,$ y $BC = a$ , calcule $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3.$

Demuestre que para cada entero positivo $m$ podemos encontrar un conjunto finito $S$ de puntos en el plano, tal que dado cualquier punto $A$ de $S$ , hay exactamente $m$ puntos en $S$ a distancia unitaria de $A$ .

En un triángulo $ABC$ , sea $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro y $R$ su circunradio. Demuestra que:\n(a) $|OH| = R \sqrt{1-8 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma}$ donde $\alpha, \beta, \gamma$ son ángulos del triángulo $ABC;$\n(b) $O \equiv H$ si y solo si $ABC$ es equilátero.

Sean cuadrados construidos sobre los lados $BC,CA,AB$ de un triángulo $ABC$ , todos hacia el exterior del triángulo, y sean $A_1,B_1, C_1$ sus centros. Partiendo del triángulo $A_1B_1C_1$ se obtiene análogamente un triángulo $A_2B_2C_2$ . Si $S, S_1, S_2$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC,A_1B_1C_1,A_2B_2C_2$ , respectivamente, pruebe que $S = 8S_1 - 4S_2.$

Considera una sucesión de polinomios $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x), \ldots$, donde $P_0(x) = 2, P_1(x) = x$ y para todo $n \geq 1$ se cumple la siguiente igualdad: \[P_{n+1}(x) + P_{n-1}(x) = xP_n(x).\] Demostrar que existen tres números reales $a, b, c$ tales que para todo $n \geq 1,$ \[(x^2 - 4)[P_n^2(x) - 4] = [aP_{n+1}(x) + bP_n(x) + cP_{n-1}(x)]^2.\]