Sea $x_n=2^{2^{n}}+1$ y sea $m$ el mínimo común múltiplo de $x_2, x_3, \ldots, x_{1971}.$ Hallar el último dígito de $m.$

Sean $a, b, c$ números reales positivos, $0 < a \leq b \leq c$. Demostrar que para cualquier número real positivo $x, y, z$ se cumple la siguiente desigualdad: \[(ax+by+cz) \left( \frac xa + \frac yb+\frac zc \right) \leq (x+y+z)^2 \cdot \frac{(a+c)^2}{4ac}.\]

Denotemos por $s(n)= \sum_{d|n} d$ la suma de los divisores de un entero positivo $n$ ( $1$ y $n$ incluidos). Si $n$ tiene como máximo $5$ divisores primos distintos, demostrar que $s(n) < \frac{77}{16} n.$ Demostrar también que existe un número natural $n$ para el cual se cumple $s(n) < \frac{76}{16} n$.

Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$ forman una red. Hallar el número de: \n(a) rectángulos con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(b) cuadrados con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(c) cuadrados en total, con vértices en la red.

Se nos da un entero positivo $n$ que no es una potencia de dos. Demuestre que existe un entero positivo $m$ con las siguientes dos propiedades: (a) $m$ es el producto de dos enteros positivos consecutivos; (b) la representación decimal de $m$ consta de dos bloques idénticos con $n$ dígitos.

Para un entero no negativo $n$ , defina $a_n$ como el entero positivo con representación decimal \[1\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}1\mbox{.}\] Demuestre que $\frac{a_n}{3}$ es siempre la suma de dos cubos perfectos positivos, pero nunca la suma de dos cuadrados perfectos.

Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ puntos tales que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ABDE$ es un paralelogramo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $S$ y los rayos $AB$ y $DC$ se intersecan en $F$ . Demuestre que $\measuredangle{AFS}=\measuredangle{ECD}$ .

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $CA$ , y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. Sea $K$ el punto simétrico a $D$ con respecto al incentro. Las líneas $DE$ y $FK$ se intersecan en $S$ . Demuestre que $AS$ es paralelo a $BC$ .

Sea $n$ un entero positivo. Un cuadrado $ABCD$ se divide en $n^2$ cuadrados unitarios. Cada uno de ellos se divide en dos triángulos por la diagonal paralela a $BD$ . Algunos de los vértices de los cuadrados unitarios se colorean de rojo de tal manera que cada uno de estos $2n^2$ triángulos contiene al menos un vértice rojo. Encuentre el número mínimo de vértices rojos.

En cada vértice de un $n$ - gono regular, hay una fortaleza. En el mismo momento, cada fortaleza dispara a una de las dos fortalezas más cercanas y la golpea. El resultado del disparo es el conjunto de las fortalezas golpeadas; no distinguimos si una fortaleza fue golpeada una o dos veces. Sea $P(n)$ el número de posibles resultados del disparo. Demuestre que para cada entero positivo $k\geqslant 3$ , $P(k)$ y $P(k+1)$ son relativamente primos.