Para cada entero $n\geqslant2$ , determine la constante real más grande $C_n$ tal que para todos los números reales positivos $a_1, \ldots, a_n$ tenemos \[\frac{a_1^2+\ldots+a_n^2}{n}\geqslant\left(\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right)^2+C_n\cdot(a_1-a_n)^2\mbox{.}\]

Se dan tres sucesiones estrictamente crecientes \[a_1, a_2, a_3, \ldots,\qquad b_1, b_2, b_3, \ldots,\qquad c_1, c_2, c_3, \ldots\] de enteros positivos. Cada entero positivo pertenece a exactamente una de las tres secuencias. Para cada entero positivo $n$ , se cumplen las siguientes condiciones: (a) $c_{a_n}=b_n+1$ ; (b) $a_{n+1}>b_n$ ; (c) el número $c_{n+1}c_{n}-(n+1)c_{n+1}-nc_n$ es par. Encuentra $a_{2010}$ , $b_{2010}$ y $c_{2010}$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $n$ tiene al menos cuatro divisores positivos diferentes; (b) para cualquier divisor $a$ y $b$ de $n$ que satisfagan $1<a<b<n$ , el número $b-a$ divide a $n$ .

Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$ . Sea $M$ el centro de la circunferencia circunscrita $k$ del triángulo $BDE$ . El círculo $k$ interseca la línea $AC$ en los puntos $E$ y $F$ . Demuestre que las líneas $FM$ , $AD$ y $BC$ se encuentran en un punto.

Todos los divisores positivos de un entero positivo $N$ están escritos en una pizarra. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego tomando turnos alternados. En el primer movimiento, el jugador $A$ borra $N$ . Si el último número borrado es $d$ , entonces el siguiente jugador borra ya sea un divisor de $d$ o un múltiplo de $d$ . El jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Determine todos los números $N$ para los cuales $A$ puede ganar independientemente de los movimientos de $B$ .

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{R}$ , tenemos \[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y).\]

Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ tales que $$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$ es un número primo.

Prueba que no existe ningún primo $p$ tal que cada potencia de $p$ es un palíndromo (un palíndromo es un número que se lee igual desde la izquierda que desde la derecha; en particular, un número que termina en uno o más ceros no puede ser un palíndromo).

¿Existen enteros positivos $m$ y $n$ que satisfagan la ecuación $m^3 = 9n^4 + 170n^2 + 289$ ?

El entero positivo $k$ y el conjunto $A$ de enteros distintos desde $1$ hasta $3k$ inclusive son tales que no hay distintos $a$ , $b$ , $c$ en $A$ que satisfagan $2b = a + c$ . Los números de $A$ en el intervalo $[1, k]$ serán llamados pequeños ; aquellos en $[k + 1, 2k]$ - medianos y aquellos en $[2k + 1, 3k]$ - grandes . ¿Es siempre verdad que no hay enteros positivos $x$ y $d$ tales que si $x$ , $x + d$ , y $x + 2d$ son divididos por $3k$ entonces los residuos pertenecen a $A$ y aquellos de $x$ y $x + d$ son diferentes y son: a) pequeños? b) medianos? c) grandes? (En este problema asumimos que si un múltiplo de $3k$ es dividido por $3k$ entonces el residuo es $3k$ en lugar de $0$ .)