Encuentra todos los números primos $p$ tales que $(x + y)^{19} - x^{19} - y^{19}$ es un múltiplo de $p$ para cualesquiera enteros positivos $x$ , $y$ .

Encuentra el entero más grande $k$ ( $k \ge 2$ ) , para el cual existe un entero $n$ ( $n \ge k$ ) tal que de cualquier colección de $n$ enteros positivos consecutivos uno siempre puede escoger $k$ números, los cuales verifican las siguientes condiciones: 1. cada número escogido no es divisible por $6$ , por $7$ , ni por $8$ ; 2. la diferencia positiva de cualesquiera dos números distintos escogidos no es divisible por al menos uno de los números $6$ , $7$ , y $8$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La recta que pasa por $A$ perpendicular a $BC$ interseca a $BC$ en $D$ . Sea $E$ el punto medio de $AD$ y $\omega$ el círculo con centro $E$ y radio igual a $AE$ . La recta $BE$ interseca a $\omega$ en un punto $X$ tal que $X$ y $B$ no están en el mismo lado de $AD$ y la recta $CE$ interseca a $\omega$ en un punto $Y$ tal que $C$ e $Y$ no están en el mismo lado de $AD$ . Si ambos puntos de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle BDX$ y $\triangle CDY$ se encuentran en la recta $AD$ , demuestra que $AB = AC$ .

Alicia y Bob juegan el siguiente juego: Alicia elige un conjunto $A = \{1, 2, ..., n \}$ para algún número natural $n \ge 2$ . Luego, comenzando con Bob, alternativamente eligen un número del conjunto $A$ , de acuerdo con las siguientes condiciones: inicialmente Bob elige cualquier número que quiera, después el número elegido en cada paso debe ser distinto de todos los números ya elegidos y debe diferir en $1$ de un número ya elegido. El juego termina cuando todos los números del conjunto $A$ son elegidos. Alicia gana si la suma de todos los números que ella ha elegido es compuesta. De lo contrario, Bob gana. Decide qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Viktor y Natalia compraron $2020$ cubetas de helado y quieren organizar un programa de degustación con $2020$ rondas tal que: - En cada ronda, ambos prueban $1$ helado, y esos $2$ helados probados en una sola ronda son diferentes entre sí. - Al final de las $2020$ rondas, ambos han probado cada helado exactamente una vez. Llamaremos a un programa de degustación justo si el número de helados que fueron probados por Viktor antes que Natalia es igual al número de helados probados por Natalia antes que Viktor. Demuestra que el número de horarios justos es estrictamente mayor que $2020!(2^{1010} + (1010!)^2)$ .

Alicia y Bob juegan el siguiente juego: comenzando con el número $2$ escrito en una pizarra, cada jugador por turnos cambia el número actual $n$ a un número $n + p$ , donde $p$ es un divisor primo de $n$ . Alicia empieza primero y los jugadores se alternan por turnos. El juego lo pierde quien se vea obligado a escribir un número mayor que $\underbrace{22...2}_{2020}$ . Asumiendo un juego perfecto, ¿quién ganará el juego?

Encuentra todas las ternas de números reales positivos $(a, b, c)$ tal que la expresión $M = \frac{(a + b)(b + c)(a + b + c)}{abc}$ obtiene su valor mínimo.

Considera la secuencia $a_1, a_2, a_3, ...$ definida por $a_1 = 9$ y $a_{n + 1} = \frac{(n + 5)a_n + 22}{n + 3}$ para $n \ge 1$ . Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales $a_n$ es el cuadrado perfecto de un entero.

Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que el siguiente sistema se cumple: $$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\end{cases}$$

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ de grado impar $d$ y con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente propiedad: para cada entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tales que $\frac12 < \frac{P(x_i)}{P(x_j)} < 2$ y $\frac{P(x_i)}{P(x_j)}$ es la potencia $d$-ésima de un número racional para cada par de índices $i$ y $j$ con $1 \leq i, j \leq n$.