Sea $P=A_1A_2\cdots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran en un círculo. Sea $S$ el área de $P$ . Se da un entero positivo impar $n$ tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son enteros divisibles por $n$ . Pruebe que $2S$ es un entero divisible por $n$ .

Denotemos por $\mathbb{N}$ al conjunto de todos los enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $m$ y $n$ , el entero $f(m)+f(n)-mn$ es distinto de cero y divide a $mf(m)+nf(n)$ .

Sea $a$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, y considere la ecuación \[k = \frac{x^2-a}{x^2-y^2}.\] Sea $A$ el conjunto de enteros positivos $k$ para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $x>\sqrt{a}$ , y sea $B$ el conjunto de enteros positivos para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $0\leq x<\sqrt{a}$ . Demuestre que $A=B$ .

Sean $n, m, k$ y $l$ enteros positivos con $n \neq 1$ tal que $n^k + mn^l + 1$ divide a $n^{k+l} - 1$ . Pruebe que $m = 1$ y $l = 2k$ ; o $l|k$ y $m = \frac{n^{k-l}-1}{n^l-1}$ .

Un conjunto de enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene un factor primo en común con al menos uno de los otros elementos. Sea $P(n)=n^2+n+1$ . ¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $b$ tal que existe un entero no negativo $a$ para el cual el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$ es fragante?

Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ puntos en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$ respectivamente, tales que $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ son las bisectrices internas del triángulo $ABC$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $H$ el ortocentro del triángulo $A_1B_1C_1$. Demuestre que $$AH + BH + CH \geq AI + BI + CI.$$

Sea $I$ el incentro de un triángulo no equilátero $ABC$, $I_A$ el $A$-excentro, $I'_A$ la reflexión de $I_A$ en $BC$, y $l_A$ la reflexión de la línea $AI'_A$ en $AI$. Defina los puntos $I_B$, $I'_B$ y la línea $l_B$ análogamente. Sea $P$ el punto de intersección de $l_A$ y $l_B$. Demuestre que $P$ se encuentra en la línea $OI$ donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$. Sea una de las tangentes desde $P$ al incírculo del triángulo $ABC$ que se encuentra con la circunferencia en los puntos $X$ e $Y$. Demuestre que $\angle XIY = 120^{\circ}$.

El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$. El punto $D$ se elige de manera que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. El punto $E$ se elige de manera que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD,FX$ y $ME$ son concurrentes.

Sea $n$ un entero positivo. Determine el entero positivo más pequeño $k$ con la siguiente propiedad: es posible marcar $k$ celdas en un tablero de $2n \times 2n$ de modo que exista una partición única del tablero en dominós de $1 \times 2$ y $2 \times 1$, ninguno de los cuales contiene dos celdas marcadas.

Hay $n\ge 2$ segmentos de línea en el plano tales que cada dos segmentos se cruzan y no tres segmentos se encuentran en un punto. Geoff tiene que elegir un punto final de cada segmento y colocar una rana sobre él mirando hacia el otro punto final. Luego, aplaudirá $n-1$ veces. Cada vez que aplaude, cada rana saltará inmediatamente hacia el siguiente punto de intersección en su segmento. Las ranas nunca cambian la dirección de sus saltos. Geoff desea colocar las ranas de tal manera que ninguna de ellas ocupe el mismo punto de intersección al mismo tiempo. (a) Demuestre que Geoff siempre puede cumplir su deseo si $n$ es impar. (b) Demuestre que Geoff nunca puede cumplir su deseo si $n$ es par.