Hay $n \geq 3$ islas en una ciudad. Inicialmente, la compañía de ferries ofrece algunas rutas entre algunos pares de islas de tal manera que es imposible dividir las islas en dos grupos de modo que no haya dos islas en diferentes grupos conectadas por una ruta de ferry. Después de cada año, la compañía de ferries cerrará una ruta de ferry entre dos islas $X$ e $Y$. Al mismo tiempo, para mantener su servicio, la compañía abrirá nuevas rutas de acuerdo con la siguiente regla: para cualquier isla que esté conectada a una ruta de ferry a exactamente una de $X$ e $Y$, se agrega una nueva ruta entre esta isla y la otra de $X$ e $Y$. Suponga que en cualquier momento, si dividimos todas las islas en dos grupos no vacíos de cualquier manera, entonces se sabe que la compañía de ferries cerrará una cierta ruta que conecta dos islas de los dos grupos después de algunos años. Demuestre que después de algunos años habrá una isla que esté conectada a todas las demás islas por rutas de ferry.

Sea $n \geq 3$ un entero positivo. Encuentra el número máximo de diagonales en un $n$ - gono regular que se pueden seleccionar, de modo que dos cualesquiera de ellas no se intersequen en el interior o sean perpendiculares entre sí.

Encuentra la mayor constante real $a$ tal que para todo $n \geq 1$ y para todos los números reales $x_0, x_1, ... , x_n$ que satisfacen $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ tenemos \[\frac{1}{x_1-x_0} + \frac{1}{x_2-x_1} + \dots + \frac{1}{x_n-x_{n-1}} \geq a \left( \frac{2}{x_1} + \frac{3}{x_2} + \dots + \frac{n+1}{x_n} \right)\]

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $f(0)\neq 0$ y para todo $x,y\in\mathbb{R}$ , \[ f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + \max \left\{ f(x^2+y^2), f(x^2)+f(y^2) \right\}. \]

La ecuación $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$$ está escrita en la pizarra, con $2016$ factores lineales en cada lado. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ para el cual es posible borrar exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales de modo que quede al menos un factor en cada lado y la ecuación resultante no tenga soluciones reales?

Considera fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestra que para cada entero positivo $n$ , existe tal fracción $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$ . (b) Muestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$ .

Encuentra todos los enteros $n$ para los cuales cada celda de la tabla $n \times n$ se puede llenar con una de las letras $I, M$ y $O$ de tal manera que: en cada fila y cada columna, un tercio de las entradas son $I$, un tercio son $M$ y un tercio son $O$; y en cualquier diagonal, si el número de entradas en la diagonal es un múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas son $I$, un tercio son $M$ y un tercio son $O$. Nota. Las filas y columnas de una tabla de $n \times n$ están etiquetadas de $1$ a $n$ en un orden natural. Por lo tanto, cada celda corresponde a un par de enteros positivos $(i, j)$ con $1 \le i, j \le n$. Para $n>1$, la tabla tiene $4n-2$ diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consta de todas las celdas $(i, j)$ para las cuales $i+j$ es una constante, y la diagonal de este segundo tipo consta de todas las celdas $(i, j)$ para las cuales $i-j$ es constante.

Sea $n$ un entero positivo relativamente primo con $6$. Pintamos los vértices de un $n$ - gono regular con tres colores de modo que haya un número impar de vértices de cada color. Demuestra que existe un triángulo isósceles cuyos tres vértices son de diferentes colores.

Sea $\tau(n)$ el número de divisores positivos de $n$. Sea $\tau_1(n)$ el número de divisores positivos de $n$ que tienen restos $1$ cuando se dividen por $3$. Encuentre todos los valores integrales positivos de la fracción $\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}$.

Para cualquier entero positivo $k$, denotamos la suma de los dígitos de $k$ en su representación decimal por $S(k)$. Encuentre todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para cualquier entero positivo $n \geq 2016$, el entero $P(n)$ es positivo y $$S(P(n)) = P(S(n)).$$